No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:
Os dois números primos
Os dois números primos
Passo 1
O enunciado: foram lançados simultaneamente dois dados diferentes (cada um com faces numeradas de
a
). A pergunta é: qual a probabilidade de que os dois números mostrados sejam primos?
Informações dadas e úteis:
- Cada dado tem as faces
. - Números primos entre
e : . (Peguei estes valores da lista de faces do dado.) - Os lançamentos são simultâneos e os dados são diferentes (ou seja, as ordens
e são resultados distintos no espaço amostral).
Passo 2
O que é probabilidade aqui (ideia que vamos usar): quando todos os resultados do experimento são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Vou aplicar essa definição ao nosso caso. Explicando cada termo: “resultados favoráveis” são os pares ordenados em que ambos os números são primos; “nº total de resultados” é o número de pares ordenados possíveis ao lançar dois dados.
Passo 3
Calcular o número total de resultados possíveis: para cada face do primeiro dado há
possibilidades e para cada uma delas há
possibilidades no segundo dado. Portanto o total é
Isso corresponde ao espaço amostral de todos os pares ordenados
com
.
Passo 4
Calcular o número de resultados favoráveis: como os primos possíveis em cada dado são
, há
resultados primos possíveis em cada dado. Como os dados são distintos e a ordem importa, o número de pares onde ambos são primos é
Uma forma de visualizar: os pares favoráveis são
— exatamente
pares.
Passo 5
Aplicar a fórmula de probabilidade com os números encontrados:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Verificação alternativa (usando independência dos lançamentos): a probabilidade de um dado dar número primo é
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de ambos serem primos é o produto:
o mesmo resultado obtido pela contagem — bom sinal de que está correto.
Passo 7
Interpretação final em palavras rápidas: em
resultados igualmente possíveis,
têm ambos os números primos, logo a chance é
, que reduz para
. Força aí — essa é uma daquelas questões que vale a pena decorar o raciocínio: conta total
conta favorável ou produto das probabilidades por independência.