No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:
Os dois números primos

Passo 1

O enunciado: foram lançados simultaneamente dois dados diferentes (cada um com faces numeradas de 1 a 6). A pergunta é: qual a probabilidade de que os dois números mostrados sejam primos?
Informações dadas e úteis:
  • Cada dado tem as faces \{1,2,3,4,5,6\}.
  • Números primos entre 1 e 6: 2,3,5. (Peguei estes valores da lista de faces do dado.)
  • Os lançamentos são simultâneos e os dados são diferentes (ou seja, as ordens (x,y) e (y,x) são resultados distintos no espaço amostral).

Passo 2

O que é probabilidade aqui (ideia que vamos usar): quando todos os resultados do experimento são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}.ºáº
Vou aplicar essa definição ao nosso caso. Explicando cada termo: “resultados favoráveis” são os pares ordenados em que ambos os números são primos; “nº total de resultados” é o número de pares ordenados possíveis ao lançar dois dados.

Passo 3

Calcular o número total de resultados possíveis: para cada face do primeiro dado há 6 possibilidades e para cada uma delas há 6 possibilidades no segundo dado. Portanto o total é
6\times 6=36.
Isso corresponde ao espaço amostral de todos os pares ordenados (a,b) com a,b\in\{1,\dots,6\}.

Passo 4

Calcular o número de resultados favoráveis: como os primos possíveis em cada dado são \{2,3,5\}, há 3 resultados primos possíveis em cada dado. Como os dados são distintos e a ordem importa, o número de pares onde ambos são primos é
3\times 3=9.
Uma forma de visualizar: os pares favoráveis são (2,2),(2,3),(2,5),(3,2),(3,3),(3,5),(5,2),(5,3),(5,5) — exatamente 9 pares.

Passo 5

Aplicar a fórmula de probabilidade com os números encontrados:
P(\text{ambos primos})=\frac{9}{36}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 9:
\frac{9}{36}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Verificação alternativa (usando independência dos lançamentos): a probabilidade de um dado dar número primo é
P(\text{primo no dado})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de ambos serem primos é o produto:
\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4},
o mesmo resultado obtido pela contagem — bom sinal de que está correto.

Passo 7

Interpretação final em palavras rápidas: em 36 resultados igualmente possíveis, 9 têm ambos os números primos, logo a chance é 9/36, que reduz para 1/4. Força aí — essa é uma daquelas questões que vale a pena decorar o raciocínio: conta total \times conta favorável ou produto das probabilidades por independência.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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