Considerando a fórmula de Euler,
sen
, converta o número complexo
para a forma trigonométrica e exponencial (de Euler).
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas:
- Converter para a forma trigonométrica (forma polar/trig):
😉. - Converter para a forma exponencial (fórmula de Euler):
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Parte real:
. - Parte imaginária:
.
Passo 2
Explicar e calcular o módulo (raio)
.
Definição e ideia: o módulo de um número complexo
é a distância do ponto
ao origem no plano complexo. A fórmula é
Aqui
e
. Então
Comentário amigo: isto significa que o ponto está a distância
do origem — simples de ver depois de calcular as contas.
Passo 3
Explicar e calcular o argumento
.
Definição e ideia: para
com
, o argumento principal
satisfaz
e é necessário ajustar
ao quadrante correto conforme o sinal de
e
.
Aqui
Sabendo as razões trigonométricas conhecidas na circunferência unitária,
corresponde a
(ou
). Além disso, como
e
, o ponto está no primeiro quadrante, então o argumento principal é mesmo
Passo 4
Montar a forma trigonométrica e verificar.
Fórmula: qualquer número complexo com módulo
e argumento
pode ser escrito como
Substituindo
e
,
Verificação rápida com valores conhecidos:
então
que bate com o
dado. Ótimo — está consistente.
Passo 5
Converter para a forma exponencial (fórmula de Euler) e comentar a forma geral.
Fórmula de Euler (lembrete):
. Assim a forma exponencial é
Com
e
,
Observação extra (útil na prova): a forma exponencial admite a família de argumentos
(
), então a forma completa seria
, mas normalmente usa-se o argumento principal
.