Considerando a fórmula de Euler, e^{i \theta}=\cos \theta+i sen \theta, converta o número complexo z=2+2 i \sqrt{3} para a forma trigonométrica e exponencial (de Euler).

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \;z=2+2\mathrm{i}\sqrt{3}\; e pede duas coisas:
  • Converter para a forma trigonométrica (forma polar/trig): \;z=r\big(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta😉.
  • Converter para a forma exponencial (fórmula de Euler): \;z=r\,e^{\mathrm{i}\theta}\;.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Parte real: \;\Re(z)=2\;.
  • Parte imaginária: \;\Im(z)=2\sqrt{3}\;.

Passo 2

Explicar e calcular o módulo (raio) r.
Definição e ideia: o módulo de um número complexo \;z=x+\mathrm{i}y\; é a distância do ponto (x,y) ao origem no plano complexo. A fórmula é
r=|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui \;x=2\; e \;y=2\sqrt{3}\;. Então
r=\sqrt{2^{2}+\big(2\sqrt{3}\big)^{2}} =\sqrt{4+4\cdot 3} =\sqrt{4+12} =\sqrt{16} =4.
Comentário amigo: isto significa que o ponto está a distância 4 do origem — simples de ver depois de calcular as contas.

Passo 3

Explicar e calcular o argumento \theta.
Definição e ideia: para \;z=x+\mathrm{i}y\; com x\neq0, o argumento principal \theta satisfaz
\tan\theta=\frac{y}{x},
e é necessário ajustar \theta ao quadrante correto conforme o sinal de x e y.
Aqui
\tan\theta=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.
Sabendo as razões trigonométricas conhecidas na circunferência unitária, \tan\theta=\sqrt{3} corresponde a \theta=\dfrac{\pi}{3} (ou 60^\circ). Além disso, como x=2>0 e y=2\sqrt{3}>0, o ponto está no primeiro quadrante, então o argumento principal é mesmo
\theta=\frac{\pi}{3}.

Passo 4

Montar a forma trigonométrica e verificar.
Fórmula: qualquer número complexo com módulo r e argumento \theta pode ser escrito como
z=r\big(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\big).
Substituindo r=4 e \theta=\dfrac{\pi}{3},
z=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right).
Verificação rápida com valores conhecidos:
\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},
então
4\left(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=2+2\mathrm{i}\sqrt{3},
que bate com o z dado. Ótimo — está consistente.

Passo 5

Converter para a forma exponencial (fórmula de Euler) e comentar a forma geral.
Fórmula de Euler (lembrete): \;e^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\;. Assim a forma exponencial é
z=r\,e^{\mathrm{i}\theta}.
Com r=4 e \theta=\dfrac{\pi}{3},
z=4\,e^{\mathrm{i}\pi/3}.
Observação extra (útil na prova): a forma exponencial admite a família de argumentos \theta+2k\pi ( k\in\mathbb{Z}), então a forma completa seria \;z=4\,e^{\mathrm{i}(\pi/3+2k\pi)}\;, mas normalmente usa-se o argumento principal \theta=\dfrac{\pi}{3}.

Resposta

z=4\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)
z=4\,e^{\mathrm{i}\pi/3}

Exercícios relacionados