Calcule as derivadas parciais primeiras e segundas da função de onda:
Passo 1
O enunciado nos dá a função de onda
O que se pede: calcular as derivadas parciais primeiras e segundas de
. Informações relevantes que vamos usar (todas dadas ou inferidas do enunciado):
- As variáveis independentes são
e . - As constantes
e são parâmetros (constantes em relação a e ). - Precisamos das derivadas parciais primeiras
e e das segundas , e também as mistas (e , que deve coincidir com por teoremas de diferenciabilidade).
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (cadeia + derivadas elementares):
- Se
é uma função de , então
- De forma análoga para derivação em
,
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia duas vezes (uma para cada termo da soma).
Passo 3
Derivada parcial de
em relação a
. Trato
como constante e aplico a cadeia termo a termo.
- Para o primeiro termo
temos . - Para o segundo termo
temos .
Aplicando as fórmulas:
Organizando os termos:
Dica prática para a prova: sempre identifique a “função interna” (aqui
) e escreva seu derivado (aqui
) antes de multiplicar pelo derivado da função trigonométrica.
Passo 4
Derivada parcial de
em relação a
. Agora trato
como constante.
- Para
temos . - Para
temos .
Aplicando a cadeia:
Ou seja,
Observação útil: é comum fatorar
se quiser escrever de forma compacta.
Passo 5
Segunda derivada parcial em relação a
(
). Derivo
em relação a
novamente.
Parto de .
Parto de
- Derivando
: a derivada de é e a derivada interna é , portanto resulta . - Derivando
: a derivada de é e a derivada interna é , portanto resulta .
Somando:
Nota simpática: podemos reconhecer a expressão como
. Isso aparece frequentemente ao verificar que funções harmônicas satisfazem a equação de onda espacial.
Passo 6
Segunda derivada parcial em relação a
(
). Derivo
em relação a
novamente.
Parto de .
Parto de
- Derivando
: derivada de é e a derivada interna é , logo obtemos . - Derivando
: derivada de é e a derivada interna é , logo obtemos .
Somando:
Analogamente, nota:
.
Passo 7
Derivadas mistas
e
. Vou calcular
derivando
em relação a
; o resultado deve coincidir com
.
Parto de e derivo em
:
Parto de
- Derivada de
em : . - Derivada de
em : .
Logo
Se diferenciar
em
obtém-se o mesmo (verificação rápida para a prova: diferenciação mista com funções suficientemente suaves comuta).