Calcule as derivadas parciais primeiras e segundas da função de onda:
\Psi(x, t)=\operatorname{sen}(k x-\omega t)+\cos (k x+\omega t) .

Passo 1

O enunciado nos dá a função de onda
\Psi(x,t)=\operatorname{sen}\big(kx-\omega t\big)+\cos\big(kx+\omega t\big).
O que se pede: calcular as derivadas parciais primeiras e segundas de \Psi. Informações relevantes que vamos usar (todas dadas ou inferidas do enunciado):
  • As variáveis independentes são x e t.
  • As constantes k e \omega são parâmetros (constantes em relação a x e t).
  • Precisamos das derivadas parciais primeiras \Psi_x e \Psi_t e das segundas \Psi_{xx}, \Psi_{tt} e também as mistas \Psi_{xt} (e \Psi_{tx}, que deve coincidir com \Psi_{xt} por teoremas de diferenciabilidade).

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (cadeia + derivadas elementares):
  • Se u(x,t) é uma função de x,t, então
\frac{\partial}{\partial x}\big(\operatorname{sen}u\big)=\cos u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\big(\cos u\big)=-\sin u\cdot \frac{\partial u}{\partial x}.
  • De forma análoga para derivação em t,
\frac{\partial}{\partial t}\big(\operatorname{sen}u\big)=\cos u\cdot \frac{\partial u}{\partial t}, \qquad \frac{\partial}{\partial t}\big(\cos u\big)=-\sin u\cdot \frac{\partial u}{\partial t}.
Aqui vamos aplicar a regra da cadeia duas vezes (uma para cada termo da soma).

Passo 3

Derivada parcial de \Psi em relação a x. Trato t como constante e aplico a cadeia termo a termo.
  • Para o primeiro termo u(x,t)=kx-\omega t temos \dfrac{\partial u}{\partial x}=k.
  • Para o segundo termo v(x,t)=kx+\omega t temos \dfrac{\partial v}{\partial x}=k.
    Aplicando as fórmulas:
\Psi_x=\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(kx-\omega t) +\frac{\partial}{\partial x}\cos(kx+\omega t).
\Psi_x=\cos(kx-\omega t)\cdot k \;+\; (-\sin(kx+\omega t))\cdot k.
Organizando os termos:
\Psi_x=k\cos(kx-\omega t)-k\sin(kx+\omega t).
Dica prática para a prova: sempre identifique a “função interna” (aqui kx\pm\omega t) e escreva seu derivado (aqui k) antes de multiplicar pelo derivado da função trigonométrica.

Passo 4

Derivada parcial de \Psi em relação a t. Agora trato x como constante.
  • Para u=kx-\omega t temos \dfrac{\partial u}{\partial t}=-\omega.
  • Para v=kx+\omega t temos \dfrac{\partial v}{\partial t}=+\omega.
    Aplicando a cadeia:
\Psi_t=\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{sen}(kx-\omega t) +\frac{\partial}{\partial t}\cos(kx+\omega t).
\Psi_t=\cos(kx-\omega t)\cdot(-\omega)\;+\;(-\sin(kx+\omega t))\cdot(+\omega).
Ou seja,
\Psi_t=-\omega\cos(kx-\omega t)-\omega\sin(kx+\omega t).
Observação útil: é comum fatorar -\omega se quiser escrever de forma compacta.

Passo 5

Segunda derivada parcial em relação a x ( \Psi_{xx}). Derivo \Psi_x em relação a x novamente.
Parto de \Psi_x=k\cos(kx-\omega t)-k\sin(kx+\omega t).
  • Derivando k\cos(kx-\omega t): a derivada de \cos é -\sin e a derivada interna é k, portanto resulta k\cdot(-\sin(kx-\omega t))\cdot k=-k^2\sin(kx-\omega t).
  • Derivando -k\sin(kx+\omega t): a derivada de \sin é \cos e a derivada interna é k, portanto resulta -k\cdot\cos(kx+\omega t)\cdot k=-k^2\cos(kx+\omega t).
    Somando:
\Psi_{xx}=-k^2\sin(kx-\omega t)-k^2\cos(kx+\omega t).
Nota simpática: podemos reconhecer a expressão como \Psi_{xx}=-k^2\Psi(x,t). Isso aparece frequentemente ao verificar que funções harmônicas satisfazem a equação de onda espacial.

Passo 6

Segunda derivada parcial em relação a t ( \Psi_{tt}). Derivo \Psi_t em relação a t novamente.
Parto de \Psi_t=-\omega\cos(kx-\omega t)-\omega\sin(kx+\omega t).
  • Derivando -\omega\cos(kx-\omega t): derivada de \cos é -\sin e a derivada interna é -\omega, logo obtemos -\omega\cdot(-\sin(kx-\omega t))\cdot(-\omega)=-\omega^2\sin(kx-\omega t).
  • Derivando -\omega\sin(kx+\omega t): derivada de \sin é \cos e a derivada interna é +\omega, logo obtemos -\omega\cdot\cos(kx+\omega t)\cdot\omega=-\omega^2\cos(kx+\omega t).
    Somando:
\Psi_{tt}=-\omega^2\sin(kx-\omega t)-\omega^2\cos(kx+\omega t).
Analogamente, nota: \Psi_{tt}=-\omega^2\Psi(x,t).

Passo 7

Derivadas mistas \Psi_{xt} e \Psi_{tx}. Vou calcular \Psi_{xt} derivando \Psi_x em relação a t; o resultado deve coincidir com \Psi_{tx}.
Parto de \Psi_x=k\cos(kx-\omega t)-k\sin(kx+\omega t) e derivo em t:
  • Derivada de k\cos(kx-\omega t) em t: k\cdot(-\sin(kx-\omega t))\cdot(-\omega)=k\omega\sin(kx-\omega t).
  • Derivada de -k\sin(kx+\omega t) em t: -k\cdot\cos(kx+\omega t)\cdot\omega=-k\omega\cos(kx+\omega t).
    Logo
\Psi_{xt}=k\omega\sin(kx-\omega t)-k\omega\cos(kx+\omega t).
Se diferenciar \Psi_t em x obtém-se o mesmo (verificação rápida para a prova: diferenciação mista com funções suficientemente suaves comuta).

Resposta

\Psi_x=k\cos(kx-\omega t)-k\sin(kx+\omega t)
\Psi_t=-\omega\cos(kx-\omega t)-\omega\sin(kx+\omega t)
\Psi_{xx}=-k^2\sin(kx-\omega t)-k^2\cos(kx+\omega t)
\Psi_{tt}=-\omega^2\sin(kx-\omega t)-\omega^2\cos(kx+\omega t)
\Psi_{xt}=k\omega\sin(kx-\omega t)-k\omega\cos(kx+\omega t)

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