considerando a função
: Calcule o resultado da integral
utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é
. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Simpson,9 ponto;
Simpson,9 ponto;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pedem para aproximar a integral
com usando a regra de Simpson com 9 pontos. - Pedem também para calcular o erro relativo usando o valor analítico dado
. - Informação importante que vou usar: “9 pontos” significa que teremos 9 nós uniformemente espaçados no intervalo
.
Passo 2
O método: Regra composta de Simpson (explicação didática)
- A regra de Simpson aproxima a integral em cada par de subintervalos por uma parábola que interpola a função em três pontos. Quando temos muitos subintervalos pares, somamos essas aproximações — isso é a regra composta de Simpson.
- Fórmula da regra composta de Simpson para
subintervalos, com par, passo e nós :
- O que cada símbolo significa:
-
e são os limites da integral ( , aqui). -
é o número de subintervalos (deve ser par). -
é o comprimento de cada subintervalo. -
são os nós onde avaliamos .
-
- Por que os coeficientes 1,4,2? Porque a aproximação por parábolas, ao somar par-a-par, gera esse padrão de pesos (os nós interiores alternam entre peso 4 e 2).
Passo 3
Escolha do parâmetro a partir do enunciado
- Temos 9 pontos
número de subintervalos . Observação: é par, então Simpson é aplicável. - Calcular
:
Passo 4
Nós e avaliações da função (vou avaliar
em cada nó)
- Nós
. - Avaliando
em cada nó (valores numéricos com várias casas decimais, obtidos avaliando ): -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
-
- Nota: os valores acima vieram avaliando diretamente
em cada nó.
Passo 5
Calcular as somas necessárias para Simpson (separando ímpares e pares)
- Soma dos nós ímpares
:
- Soma dos nós pares
:
Passo 6
Aplicar a fórmula de Simpson composta
- Usando a fórmula:
- Substituindo
e os valores:
- Arredondando um pouco, a aproximação obtida por Simpson com 9 pontos é
.]
Passo 7
Calcular o erro relativo e comentar
- Valor analítico fornecido:
. - Erro absoluto:
- Erro relativo (fração):
- Em porcentagem:
- Comentário didático e motivador:
- O erro relativo é muito pequeno (cerca de
, ou ). Isso é esperado: a regra de Simpson é de ordem 4 (o termo de erro principal escala com ), e aqui usamos relativamente pequeno e a função é muito suave (derivadas contínuas), então a aproximação fica muito boa mesmo com poucos subintervalos. - Se quiser reduzir ainda mais o erro, é suficiente reduzir
(aumentar o número de pontos): por exemplo dobrando o número de subintervalos (mantendo a paridade) o erro deve cair aproximadamente por um fator próximo a para funções suficientemente suaves.
- O erro relativo é muito pequeno (cerca de