considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Simpson,9 ponto;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pedem para aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx com f(x)=e^{2x} usando a regra de Simpson com 9 pontos.
  • Pedem também para calcular o erro relativo usando o valor analítico dado \displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,dx = 26,799075.
  • Informação importante que vou usar: “9 pontos” significa que teremos 9 nós uniformemente espaçados no intervalo [0,2].

Passo 2

O método: Regra composta de Simpson (explicação didática)
  • A regra de Simpson aproxima a integral em cada par de subintervalos por uma parábola que interpola a função em três pontos. Quando temos muitos subintervalos pares, somamos essas aproximações — isso é a regra composta de Simpson.
  • Fórmula da regra composta de Simpson para m subintervalos, com m par, passo h=\dfrac{b-a}{m} e nós x_0,x_1,\dots,x_m:
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_m)+4\sum_{\substack{j=1\\\ j\\ \text{ímpar}}}^{m-1} f(x_j)+2\sum_{\substack{j=2\\\ j\\ \text{par}}}^{m-2} f(x_j)\Bigr].í
  • O que cada símbolo significa:
    • a e b são os limites da integral ( a=0, b=2 aqui).
    • m é o número de subintervalos (deve ser par).
    • h é o comprimento de cada subintervalo.
    • x_j=a+jh são os nós onde avaliamos f.
  • Por que os coeficientes 1,4,2? Porque a aproximação por parábolas, ao somar par-a-par, gera esse padrão de pesos (os nós interiores alternam entre peso 4 e 2).

Passo 3

Escolha do parâmetro a partir do enunciado
  • Temos 9 pontos \Rightarrow número de subintervalos m=9-1=8. Observação: m=8 é par, então Simpson é aplicável.
  • Calcular h:
h=\frac{b-a}{m}=\frac{2-0}{8}=0,25.

Passo 4

Nós e avaliações da função (vou avaliar f(x)=e^{2x} em cada nó)
  • Nós x_j = 0,0{,}25,0{,}50,0{,}75,1,1{,}25,1{,}50,1{,}75,2.
  • Avaliando f(x)=e^{2x} em cada nó (valores numéricos com várias casas decimais, obtidos avaliando e^{2x}):
    • f(x_0)=f(0)=e^{0}=1.
    • f(x_1)=f(0{,}25)=e^{0{,}5}\approx 1,648721270700128.
    • f(x_2)=f(0{,}50)=e^{1}\approx 2,718281828459045.
    • f(x_3)=f(0{,}75)=e^{1{,}5}\approx 4,481689070338065.
    • f(x_4)=f(1)=e^{2}\approx 7,389056098930650.
    • f(x_5)=f(1{,}25)=e^{2{,}5}\approx 12,182493960703473.
    • f(x_6)=f(1{,}50)=e^{3}\approx 20,085536923187667.
    • f(x_7)=f(1{,}75)=e^{3{,}5}\approx 33,115451958692310.
    • f(x_8)=f(2)=e^{4}\approx 54,598150033144236.
  • Nota: os valores acima vieram avaliando diretamente e^{2x_j} em cada nó.

Passo 5

Calcular as somas necessárias para Simpson (separando ímpares e pares)
  • Soma dos nós ímpares j=1,3,5,7:
\begin{aligned} \sum_{\text{ímpar}} f(x_j) &= f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)+f(x_7)\\\ &\approx 1,648721270700128 + 4,481689070338065 + 12,182493960703473 + 33,115451958692310\\\ &\approx 51,42835626043398. \end{aligned}í
  • Soma dos nós pares j=2,4,6:
\begin{aligned} \sum_{\text{par}} f(x_j) &= f(x_2)+f(x_4)+f(x_6)\\\ &\approx 2,718281828459045 + 7,389056098930650 + 20,085536923187667\\\ &\approx 30,19287485057736. \end{aligned}

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson composta
  • Usando a fórmula:
S=\frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_8)+4\sum_{\text{ímpar}} f(x_j)+2\sum_{\text{par}} f(x_j)\Bigr].í
  • Substituindo h=0,25 e os valores:
\begin{aligned} S &= \frac{0,25}{3}\Bigl(1 + 54,598150033144236 + 4\cdot 51,42835626043398 + 2\cdot 30,19287485057736\Bigr)\\[4pt] &= \frac{0,25}{3}\Bigl(55,598150033144236 + 205,71342504173592 + 60,38574970115472\Bigr)\\[4pt] &= \frac{0,25}{3}\cdot 321,69732477603488\\[4pt] &= \frac{1}{12}\cdot 321,69732477603488\\[4pt] &\approx 26,808110398002907. \end{aligned}
  • Arredondando um pouco, a aproximação obtida por Simpson com 9 pontos é S\approx 26,8081103980.]

Passo 7

Calcular o erro relativo e comentar
  • Valor analítico fornecido: \displaystyle I_{\text{exato}}=26,799075.
  • Erro absoluto:
\lvert E\rvert = \bigl\lvert S - I_{\text{exato}}\bigr\rvert \approx \bigl\lvert 26,808110398002907 - 26,799075\bigr\rvert \approx 0,009035398002907.
  • Erro relativo (fração):
\text{erro relativo} = \frac{\lvert E\rvert}{\lvert I_{\text{exato}}\rvert} \approx \frac{0,009035398002907}{26,799075}\approx 0,00033718.
  • Em porcentagem:
\text{erro relativo em \%} \approx 0,033718\%.
  • Comentário didático e motivador:
    • O erro relativo é muito pequeno (cerca de 3{,}4\times 10^{-4}, ou 0{,}034\%). Isso é esperado: a regra de Simpson é de ordem 4 (o termo de erro principal escala com h^4), e aqui usamos h=0{,}25 relativamente pequeno e a função e^{2x} é muito suave (derivadas contínuas), então a aproximação fica muito boa mesmo com poucos subintervalos.
    • Se quiser reduzir ainda mais o erro, é suficiente reduzir h (aumentar o número de pontos): por exemplo dobrando o número de subintervalos (mantendo a paridade) o erro deve cair aproximadamente por um fator próximo a 2^4=16 para funções suficientemente suaves.

Resposta

\text{Aproximação (Simpson, 9 pontos)} = 26,808110398002907çã
\text{Erro relativo} \approx 0,00033718 \approx 0,033718\%

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