Calcule o resultado do integral a seguir por meio da quadratura Gaussiana com 3 pontos. Refaça o cálculo com 4 pontos.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se aproximar a integral
usando a quadratura Gaussiana com 3 pontos e novamente com 4 pontos. - Informação dada: os limites de integração são
e . A função integranda é . - Resultado que vamos produzir: duas aproximações numéricas (uma com
e outra com ).
Passo 2
Ideia da quadratura Gauss-Legendre e mudança de variável para o intervalo padrão
.
- A quadratura Gauss-Legendre para
pontos fornece uma fórmula exata para polinômios de grau até no intervalo padrão :
onde
são os nós (raízes do polinômio de Legendre
) e
são os pesos correspondentes.
- Para integrar em um intervalo geral
usamos a mudança linear de variável
que dá
Assim
- No nosso caso
, . Portanto
e a integral vira
- A regra de Gauss aproximará a integral à direita por
onde
são nós e pesos em
para
pontos.
Passo 3
Nós e pesos para
(Gauss-Legendre de ordem 3) e aplicação.
- Para
os nós e pesos (no intervalo ) são bem conhecidos:
- Numericamente:
- Avaliamos a função transformada
nos nós:
(Os valores de
e
foram obtidos avaliando a função seno nos argumentos indicados pela mudança de variável.)
- Agora aplicamos a fórmula:
Substituindo números:
Passo 4
Nós e pesos para
(Gauss-Legendre de ordem 4) e aplicação.
- Para
os nós e pesos (no intervalo ) são:
- Avaliamos
nesses nós:
(Os valores acima são avaliações numéricas do seno nos argumentos indicados.)
- Aplicando a fórmula de Gauss:
Passo 5
Comparação com o valor exato (útil para entender erro) e interpretação.
- A integral exata pode ser calculada analiticamente:
Numericamente
.
- Erros das aproximações obtidas:
- Regra de Gauss com 3 pontos:
, erro . - Regra de Gauss com 4 pontos:
, erro .
- Regra de Gauss com 3 pontos:
- Observação final: a quadratura Gauss-Legendre com mais pontos tende a melhorar a aproximação (aqui o erro diminuiu ao passar de 3 para 4 pontos). O procedimento prático em prova é sempre:
- fazer a mudança linear
, - avaliar
(aqui ) nos pontos transformados , - somar os produtos
e multiplicar por .
- fazer a mudança linear
Resposta
Gauss 3 pontos:
Gauss 4 pontos: