Calcule o resultado do integral a seguir por meio da quadratura Gaussiana com 3 pontos. Refaça o cálculo com 4 pontos.
\int_{0}^{3} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{0}^{3} \sin(x)\,dx usando a quadratura Gaussiana com 3 pontos e novamente com 4 pontos.
  • Informação dada: os limites de integração são a=0 e b=3. A função integranda é f(x)=\sin(x).
  • Resultado que vamos produzir: duas aproximações numéricas (uma com n=3 e outra com n=4).

Passo 2

Ideia da quadratura Gauss-Legendre e mudança de variável para o intervalo padrão [-1,1].
  • A quadratura Gauss-Legendre para n pontos fornece uma fórmula exata para polinômios de grau até 2n-1 no intervalo padrão [-1,1]:
\int_{-1}^{1} g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(t_i),
onde t_i são os nós (raízes do polinômio de Legendre P_n) e w_i são os pesos correspondentes.
  • Para integrar em um intervalo geral [a,b] usamos a mudança linear de variável
x = \frac{b-a}{2}\,t + \frac{a+b}{2},
que dá
dx = \frac{b-a}{2}\,dt.
Assim
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \frac{b-a}{2}\int_{-1}^{1} f\!\Big(\frac{b-a}{2}t+\frac{a+b}{2}\Big)\,dt.
  • No nosso caso a=0, b=3. Portanto
x = \frac{3}{2}t + \frac{3}{2},\qquad dx=\frac{3}{2}\,dt,
e a integral vira
\int_{0}^{3}\sin(x)\,dx = \frac{3}{2}\int_{-1}^{1} \sin\!\Big(\frac{3}{2}t+\frac{3}{2}\Big)\,dt.
  • A regra de Gauss aproximará a integral à direita por
\frac{3}{2}\sum_{i=1}^{n} w_i \,\sin\!\Big(\frac{3}{2}t_i+\frac{3}{2}\Big),
onde t_i,w_i são nós e pesos em [-1,1] para n pontos.

Passo 3

Nós e pesos para n=3 (Gauss-Legendre de ordem 3) e aplicação.
  • Para n=3 os nós e pesos (no intervalo [-1,1]) são bem conhecidos:
t_1 = 0,\quad w_1=\frac{8}{9};
t_{2,3}= \pm\sqrt{\frac{3}{5}}\,,\quad w_{2}=w_{3}=\frac{5}{9}.
  • Numericamente:
t_1=0,\quad t_2=+\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx 0{,}7745966692414834,\quad t_3=-\sqrt{\tfrac{3}{5}}\approx -0{,}7745966692414834,
w_1=\frac{8}{9}\approx0{,}8888888888888888,\quad w_{2}=w_{3}=\frac{5}{9}\approx0{,}5555555555555556.
  • Avaliamos a função transformada g(t)=\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t+\tfrac{3}{2}\big) nos nós:
g(t_1)=\sin\!\big(1{,}5\big)\approx 0{,}9974949866030544.
g(t_2)=\sin\!\big(1{,}5+1{,}5\cdot 0{,}7745966692414834\big) =\sin\!\big(2{,}661895003862225\big)\approx 0{,}461519820\quad(\text{aprox.}),
g(t_3)=\sin\!\big(1{,}5-1{,}5\cdot 0{,}7745966692414834\big) =\sin\!\big(0{,}3381049961377749\big)\approx 0{,}331694963\quad(\text{aprox.}).
(Os valores de g(t_2) e g(t_3) foram obtidos avaliando a função seno nos argumentos indicados pela mudança de variável.)
  • Agora aplicamos a fórmula:
\int_{0}^{3}\sin(x)\,dx \approx \frac{3}{2}\Big[w_1 g(t_1) + w_2 g(t_2) + w_3 g(t_3)\Big].
Substituindo números:
\begin{aligned} S_3 &= \frac{3}{2}\Big[ \tfrac{8}{9}\cdot 0{,}9974949866030544 + \tfrac{5}{9}\cdot 0{,}461519820 + \tfrac{5}{9}\cdot 0{,}331694963\Big] \\\ &\approx \frac{3}{2}\Big[0{,}8866622103 + 0{,}2563999000 + 0{,}184275062\Big] \\\ &\approx \frac{3}{2}\cdot 1{,}3273371723 \\\ &\approx 1{,}9910057585\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}

Passo 4

Nós e pesos para n=4 (Gauss-Legendre de ordem 4) e aplicação.
  • Para n=4 os nós e pesos (no intervalo [-1,1]) são:
t_{1,4}=\pm 0{,}8611363115940526,\quad t_{2,3}=\pm 0{,}3399810435848563,
w_{1,4}=0{,}3478548451374538,\quad w_{2,3}=0{,}6521451548625461.
  • Avaliamos g(t)=\sin\!\big(\tfrac{3}{2}t+\tfrac{3}{2}\big) nesses nós:
g(t_1)=\sin\!\big(1{,}5+1{,}5\cdot 0{,}8611363115940526\big) =\sin\!\big(2{,}791704467391079\big)\approx 0{,}3428749\quad(\text{aprox.})
g(t_2)=\sin\!\big(1{,}5+1{,}5\cdot 0{,}3399810435848563\big) =\sin\!\big(2{,}0099715653772846\big)\approx 0{,}9037017\quad(\text{aprox.})
g(t_3)=\sin\!\big(1{,}5-1{,}5\cdot 0{,}3399810435848563\big) =\sin\!\big(0{,}9900284346227155\big)\approx 0{,}8359421\quad(\text{aprox.})
g(t_4)=\sin\!\big(1{,}5-1{,}5\cdot 0{,}8611363115940526\big) =\sin\!\big(0{,}208295532608921\big)\approx 0{,}2068078\quad(\text{aprox.})
(Os valores acima são avaliações numéricas do seno nos argumentos indicados.)
  • Aplicando a fórmula de Gauss:
\begin{aligned} S_4 &= \frac{3}{2}\sum_{i=1}^4 w_i\,g(t_i) \\\ &\approx \frac{3}{2}\Big[0{,}3478548451\cdot 0{,}3428749 + 0{,}6521451549\cdot 0{,}9037017 \\\ &\qquad\qquad + 0{,}6521451549\cdot 0{,}8359421 + 0{,}3478548451\cdot 0{,}2068078\Big] \\\ &\approx \frac{3}{2}\Big[0{,}1192050 + 0{,}5897361 + 0{,}5452641 + 0{,}0718581\Big] \\\ &\approx \frac{3}{2}\cdot 1{,}3260633 \\\ &\approx 1{,}98909495\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}

Passo 5

Comparação com o valor exato (útil para entender erro) e interpretação.
  • A integral exata pode ser calculada analiticamente:
\int_{0}^{3}\sin(x)\,dx = \big[-\cos(x)\big]_{0}^{3} = -\cos(3)+\cos(0) = 1-\cos(3).
Numericamente \;1-\cos(3)\approx 1{,}9899924966.
  • Erros das aproximações obtidas:
    • Regra de Gauss com 3 pontos: S_3\approx 1{,}99100576, erro \approx +0{,}00101326.
    • Regra de Gauss com 4 pontos: S_4\approx 1{,}98909495, erro \approx -0{,}00089755.
  • Observação final: a quadratura Gauss-Legendre com mais pontos tende a melhorar a aproximação (aqui o erro diminuiu ao passar de 3 para 4 pontos). O procedimento prático em prova é sempre:
    1. fazer a mudança linear x=\tfrac{b-a}{2}t+\tfrac{a+b}{2},
    2. avaliar f (aqui \sin) nos pontos transformados x=\tfrac{3}{2}t_i+\tfrac{3}{2},
    3. somar os produtos w_i f(x_i) e multiplicar por \tfrac{b-a}{2}.

Resposta

Gauss 3 pontos: 1{,}9910057585
Gauss 4 pontos: 1{,}9890949500

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