considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Simpson, 5 pontos;

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral definida
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
para f(x)=e^{2x} usando a regra de Simpson com 5 pontos, e que se calcule o erro relativo comparando com o resultado analítico fornecido \int_{0}^{2} f(x)\,dx=26{,}799075.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=e^{2x}.
  • Intervalo de integração: [0,2].
  • Método: regra de Simpson composta usando 5 pontos (ou seja, 4 subintervalos).
  • Resultado analítico fornecido: \int_{0}^{2} f(x)\,dx=26{,}799075.

Passo 2

Apresentar a fórmula da regra de Simpson composta e explicar as variáveis (aula rápida).
Se dividirmos [a,b] em n subintervalos com n par e passo h=(b-a)/n, a regra de Simpson composta é
S=\frac{h}{3}\Big(f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{k=1,\,k\\ \text{ímpar}}^{n-1} f(x_k)+2\sum_{k=2,\,k\\ \text{par}}^{n-2} f(x_k)\Big).í
Explicando:
  • a e b são os limites de integração.
  • n é o número de subintervalos (deve ser par). Aqui n=4.
  • h é o tamanho de cada subintervalo, h=(b-a)/n.
  • x_k=a+k h são os pontos (nós) onde a função é avaliada.
  • A soma com coeficiente 4 é sobre os índices ímpares; a soma com coeficiente 2 é sobre os índices pares (exceto os extremos).
A justificativa rápida: Simpson aproxima a função por parábolas em pares de subintervalos; o esquema combina as avaliações com pesos 1,4,2,4,…,1.

Passo 3

Calcular h e os nós para o nosso caso. Aqui a=0, b=2, n=4 (porque 5 pontos significam 4 subintervalos), então
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{4}=0{,}5.
Os nós são
x_0=0{,} \quad x_1=0{,}5,\quad x_2=1{,}0,\quad x_3=1{,}5,\quad x_4=2{,}0.

Passo 4

Avaliar f(x)=e^{2x} em cada nó (aqui foi usada a definição f(x)=e^{2x} e valores conhecidos de e^{1},e^{2},e^{3},e^{4}):
\begin{aligned} f(x_0)&=f(0)=e^{0}=1{,}\\[4pt] f(x_1)&=f(0{,}5)=e^{1}=2{,}718281828459045\approx2{,}718281828459045,\\[4pt] f(x_2)&=f(1{,}0)=e^{2}=7{,}38905609893065\approx7{,}38905609893065,\\[4pt] f(x_3)&=f(1{,}5)=e^{3}=20{,}085536923187668\approx20{,}085536923187668,\\[4pt] f(x_4)&=f(2{,}0)=e^{4}=54{,}598150033144236\approx54{,}598150033144236. \end{aligned}]

Passo 5

Aplicar a fórmula de Simpson composta com h=0{,}5 e os valores calculados. Para n=4 temos
S=\frac{h}{3}\big(f(x_0)+f(x_4)+4(f(x_1)+f(x_3))+2 f(x_2)\big).
Substituindo os números:
\begin{aligned} S&=\frac{0{,}5}{3}\Big(1+54{,}598150033144236+4(2{,}718281828459045+20{,}085536923187668)+2\cdot7{,}38905609893065\Big)\\[4pt] &=\frac{0{,}5}{3}\Big(55{,}598150033144236+4\cdot22{,}803818751646713+14{,}7781121978613\Big)\\[4pt] &=\frac{0{,}5}{3}\Big(55{,}598150033144236+91{,}21527500658685+14{,}7781121978613\Big)\\[4pt] &=\frac{0{,}5}{3}\cdot161{,}59153723759238\\[4pt] &=\frac{1}{6}\cdot161{,}59153723759238\\[4pt] &=26{,}931922872932064\\ (\text{aprox.}). \end{aligned}]

Passo 6

Calcular o erro absoluto e o erro relativo. Primeiro, a expressão exata da integral (para referência):
\int_{0}^{2} e^{2x}\,dx=\left.\frac{e^{2x}}{2}\right|_{0}^{2}=\frac{e^{4}-1}{2}=26{,}799075016572118\\ (\text{valor exato}).
O enunciado deu 26{,}799075 (truncado); usaremos o valor exato acima para calcular os erros.
Erro absoluto:
\text{erro absoluto}=|S-I|=|26{,}931922872932064-26{,}799075016572118|=0{,}132847856359946.
Erro relativo (fração):
\text{erro relativo}=\frac{|S-I|}{|I|}=\frac{0{,}132847856359946}{26{,}799075016572118}\approx0{,}004958018.
Em porcentagem:
\text{erro relativo (\%)}\approx0{,}4958018\%.

Passo 7

Comentário sobre o resultado (didático e motivador).
  • A aproximação por Simpson com 5 pontos (4 subintervalos) deu S\approx26{,}931922872932064, com erro relativo cerca de 0{,}004958 (ou 0{,}4958\%). Para uma função suave como e^{2x} isso é um erro pequeno — menos de meio por cento — e normalmente aceitável em muitas aplicações rápidas de prova.
  • Por que Simpson é tão bom aqui? A regra de Simpson composta tem ordem de convergência O(h^4): o erro típico escala como h^4. Como usamos h=0{,}5 (relativamente pequeno) e a função é infinitamente diferenciável, obtemos boa precisão com poucos pontos.
  • Podemos verificar um limite superior teórico do erro usando a fórmula de erro (para algum \xi\in(0,2)):
E_S=-\frac{b-a}{180}\,h^4 f^{(4)}(\xi).
Para f(x)=e^{2x} vale f^{(4)}(x)=16 e^{2x}, então \max_{[0,2]} f^{(4)}=16 e^{4}. Um bound grosseiro é
|E_S|\le\frac{2}{180}h^4\cdot 16 e^{4}=\frac{2}{180}\cdot(0{,}5)^4\cdot16 e^{4}=\frac{1}{90}e^{4}\approx0{,}606646,
que é uma cota conservadora (maior que o erro real 0{,}1328). Isso mostra que as cotas teóricas costumam ser seguras, mas nem sempre muito próximas do erro real.
  • Moral: Simpson com 5 pontos já entrega precisão razoável; para mais precisão reduzir h (aumentar o número de pontos pares) ou usar métodos de ordem maior.

Resposta

Simpson (5 pontos): S=26{,}931922872932064
Erro relativo: 0{,}004958018\approx0{,}4958018\%

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