considerando a função f(x)=e^{2 x} : Calcule o resultado da integral \int_{0}^{2} f(x) d x utilizando os seguintes métodos e número de pontos. Sabendo que o resultado analítico da função é \int_{0}^{2} f(x) d x=26.799075. Calcule o erro relativo em cada letra e comente o resultado.
Simpson, 5 pontos;
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral definida
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
para f(x)=e^{2x} usando a regra de Simpson com 5 pontos, e que se calcule o erro relativo comparando com o resultado analítico fornecido \int_{0}^{2} f(x)\,dx=26{,}799075.
Informações dadas:
Função: f(x)=e^{2x}.
Intervalo de integração: [0,2].
Método: regra de Simpson composta usando 5 pontos (ou seja, 4 subintervalos).
Apresentar a fórmula da regra de Simpson composta e explicar as variáveis (aula rápida).
Se dividirmos [a,b] em n subintervalos com n par e passo h=(b-a)/n, a regra de Simpson composta é
Comentário sobre o resultado (didático e motivador).
A aproximação por Simpson com 5 pontos (4 subintervalos) deu S\approx26{,}931922872932064, com erro relativo cerca de 0{,}004958 (ou 0{,}4958\%). Para uma função suave como e^{2x} isso é um erro pequeno — menos de meio por cento — e normalmente aceitável em muitas aplicações rápidas de prova.
Por que Simpson é tão bom aqui? A regra de Simpson composta tem ordem de convergência O(h^4): o erro típico escala como h^4. Como usamos h=0{,}5 (relativamente pequeno) e a função é infinitamente diferenciável, obtemos boa precisão com poucos pontos.
Podemos verificar um limite superior teórico do erro usando a fórmula de erro (para algum \xi\in(0,2)):
E_S=-\frac{b-a}{180}\,h^4 f^{(4)}(\xi).
Para f(x)=e^{2x} vale f^{(4)}(x)=16 e^{2x}, então \max_{[0,2]} f^{(4)}=16 e^{4}. Um bound grosseiro é
que é uma cota conservadora (maior que o erro real 0{,}1328). Isso mostra que as cotas teóricas costumam ser seguras, mas nem sempre muito próximas do erro real.
Moral: Simpson com 5 pontos já entrega precisão razoável; para mais precisão reduzir h (aumentar o número de pontos pares) ou usar métodos de ordem maior.