Considerando a função f(x)=3^{x}, determine:
a) uma representação em série de potências para f(x) em torno do ponto a=0;
b) o raio de convergência da série de potencias obtida no item (a);
c) o valor de f(2,25) com precisão de quatro casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3^x
e pede:
a) uma série de potências em torno de a=0;
b) o raio de convergência dessa série;
c) o valor numérico de f(2,25) com quatro casas decimais.
O conteúdo envolvido é a expansão em série de Taylor (Maclaurin) para exponenciais e o teste da razão para raio de convergência.

Passo 2

Escrevemos
3^x = e^{x\ln 3}.
Sabemos que a série de Maclaurin de e^u é
e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}.
Aqui temos u = x\ln 3.

Passo 3

Substituindo u = x\ln 3 na série de e^u, obtemos
3^x = e^{x\ln 3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 3)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n}{n!}\,x^n.

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos coeficientes
a_n = \frac{(\ln 3)^n}{n!}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{(\ln 3)^{n+1}/(n+1)!}{(\ln 3)^n/n!} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln 3}{n+1} = 0.
Como esse limite é 0<1, o raio de convergência é
R = \infty.

Passo 5

Para calcular f(2,25)=3^{2,25}, usamos
3^{2,25} = e^{2,25\,\ln 3}.
Primeiro \ln 3 \approx 1,098612289, então
2,25\;\ln 3 \approx 2,471378150.
Logo
3^{2,25} = e^{2,471378150} \approx 11,8373
(arredondado a quatro casas decimais).

Resposta

a) \displaystyle 3^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^n}{n!}\,x^n
b) R=\infty
c) f(2,25)\approx11,8373

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