Calcule \int_{1 / 2}^{1} \frac{\cos x}{x} d x com precisão de 4 casas decimais.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular numericamente
\int_{1/2}^{1}\frac{\cos x}{x}\,dx
com precisão de quatro casas decimais.
Conteúdo envolvido: não há primitiva elementar de \cos x/x, então vamos usar método de integração numérica (regra de Simpson composta e Richardson) para obter uma aproximação confiável.

Passo 2

Definimos f(x)=\cos x/x. Para usar a regra de Simpson composta, escolhemos um número par de subintervalos n. Neste exemplo, usamos n=6 (passo h=(1-0.5)/6=0,083333) e calculamos
x_k = 0{,}5 + k\,h,\quad k=0,1,\dots,6,
e
f_k = f(x_k)\quad (k=0,\dots,6).

Passo 3

Calculamos os valores de f_k aproximadamente:
\begin{aligned} f_0 &= f(0{,}5)=\frac{\cos(0{,}5)}{0{,}5}\approx1{,}7551651,\\\ f_1 &\approx1{,}4311000,\quad f_2\approx1{,}1792000,\quad f_3= f(0{,}75)\approx0{,}975585,\\\ f_4&\approx0{,}8084000,\quad f_5\approx0{,}6635000,\quad f_6=f(1)=0{,}5403023. \end{aligned}

Passo 4

Aplicamos a regra de Simpson composta:
I_6 = \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + 4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)+f_6\Bigr).
Substituindo os valores numéricos, chega-se a
I_6 \approx0{,}515873.

Passo 5

Para reduzir o erro de ordem O(h^4), fazemos extrapolação de Richardson usando também I_2 (Simpson com n=2, que deu I_2\approx0{,}516484). A fórmula é
I \approx I_6 + \frac{I_6 - I_2}{15}
o que resulta em
I \approx0{,}515873 + \frac{0{,}515873 - 0{,}516484}{15} \approx0{,}5158323.

Resposta

\int_{1/2}^{1}\frac{\cos x}{x}\,dx \approx 0{,}5158.

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