Considerando a função
tabelada:
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1.00 | 1.10 | 1.15 | 1.25 | 1.30 |
---|---|---|---|---|---|
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1.00000 | 1.04881 | 1.07238 | 1.11803 | 1.14018 |
(a) Determinar o valor aproximado de
usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de
para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
(b) Calcular um limitante superior para o erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente vai trabalhar com interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por pontos específicos de uma tabela. No nosso caso, queremos aproximar o valor de
usando três pontos próximos de
da tabela fornecida. Também vamos calcular um limite superior para o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os três pontos mais próximos de
na tabela. Olhando os valores de
, percebemos que os mais próximos são
,
e
. Esses pontos são:
Passo 3
Agora, vamos montar a diferença dividida de Newton. Isso ajuda a construir o polinômio de interpolação. A fórmula geral para as diferenças divididas é:
Vamos calcular passo a passo:
-
Diferenças de primeira ordem:
-
Diferença de segunda ordem:
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral do polinômio de Newton com três pontos é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Agora vamos substituir
no polinômio
para encontrar a aproximação de
:
Calculando cada parte:
Passo 6
Agora, vamos calcular um limitante superior para o erro da nossa aproximação. A fórmula para o erro na interpolação de Newton é:
Onde:
-
é um limite para a -ésima derivada da função no intervalo. -
é o grau do polinômio (neste caso, ). -
são os pontos usados na interpolação.
Para a função
, a terceira derivada é:
No intervalo próximo a
, o valor máximo de
ocorre em
mínimo, que é
. Então:
Agora, substituindo na fórmula do erro:
Resposta
(a) O valor aproximado de
usando o polinômio de interpolação de Newton é aproximadamente 1.0583.
(b) Um limitante superior para o erro dessa aproximação é
.