Considerando a função f(x)=raizx tabelada:
x 1.00 1.10 1.15 1.25 1.30
f(x) 1.00000 1.04881 1.07238 1.11803 1.14018
(a) Determinar o valor aproximado de raiz1.12 usando o polinômio de interpolação de Newton sobre três pontos. (Escolha os pontos mais próximos de x=1.12 para fazer a interpolação).
(b) Calcular um limitante superior para o erro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente vai trabalhar com interpolação polinomial de Newton, que é uma técnica para encontrar um polinômio que passa por pontos específicos de uma tabela. No nosso caso, queremos aproximar o valor de raiz1.12 usando três pontos próximos de x = 1.12 da tabela fornecida. Também vamos calcular um limite superior para o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher os três pontos mais próximos de x = 1.12 na tabela. Olhando os valores de x, percebemos que os mais próximos são 1.10, 1.15 e 1.25. Esses pontos são:
  • (1.10, 1.04881)
  • (1.15, 1.07238)
  • (1.25, 1.11803)

Passo 3

Agora, vamos montar a diferença dividida de Newton. Isso ajuda a construir o polinômio de interpolação. A fórmula geral para as diferenças divididas é:
f[xi] = f(xi)
f[xi, xj] = f[xj] - f[xi]xj - xi
f[xi, xj, xk] = f[xj, xk] - f[xi, xj]xk - xi
Vamos calcular passo a passo:
  • Diferenças de primeira ordem:
    f[1.10, 1.15] = 1.07238 - 1.048811.15 - 1.10 = 0.023570.05 = 0.4714
    f[1.15, 1.25] = 1.11803 - 1.072381.25 - 1.15 = 0.045650.10 = 0.4565
  • Diferença de segunda ordem:
    f[1.10, 1.15, 1.25] = 0.4565 - 0.47141.25 - 1.10 = -0.01490.15 approx -0.0993

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de interpolação de Newton. A fórmula geral do polinômio de Newton com três pontos é:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores que temos:
P(x) = 1.04881 + 0.4714(x - 1.10) - 0.0993(x - 1.10)(x - 1.15)

Passo 5

Agora vamos substituir x = 1.12 no polinômio P(x) para encontrar a aproximação de raiz1.12:
P(1.12) = 1.04881 + 0.4714(1.12 - 1.10) - 0.0993(1.12 - 1.10)(1.12 - 1.15)
Calculando cada parte:
1.12 - 1.10 = 0.02
1.12 - 1.15 = -0.03
P(1.12) = 1.04881 + 0.4714 times 0.02 - 0.0993 times 0.02 times (-0.03)
P(1.12) = 1.04881 + 0.009428 + 0.00005958 approx 1.0583

Passo 6

Agora, vamos calcular um limitante superior para o erro da nossa aproximação. A fórmula para o erro na interpolação de Newton é:
|E(x)| <= M(n+1)! |(x - x0)(x - x1)(x - x2)|
Onde:
  • M é um limite para a (n+1)-ésima derivada da função no intervalo.
  • n é o grau do polinômio (neste caso, n=2).
  • x0, x1, x2 são os pontos usados na interpolação.
Para a função f(x) = raizx, a terceira derivada é:
f'''(x) = 34x^-5/2
No intervalo próximo a x=1.12, o valor máximo de |f'''(x)| ocorre em x mínimo, que é 1.10. Então:
M = 34(1.10)^-5/2 approx 34 times 0.4807 approx 0.3605
Agora, substituindo na fórmula do erro:
|E(1.12)| <= 0.36053! |(1.12 - 1.10)(1.12 - 1.15)(1.12 - 1.25)|
|E(1.12)| <= 0.36056 |0.02 times (-0.03) times (-0.13)| approx 0.36056 times 0.000078 approx 0.0000047

Resposta

(a) O valor aproximado de raiz1.12 usando o polinômio de interpolação de Newton é aproximadamente 1.0583.
(b) Um limitante superior para o erro dessa aproximação é 0.0000047.

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