Encontre a faixa de valores de K para a qual todas as raízes do seguinte polinômio estejam no SPE:
s^5+5 s^4+10 s^3+10 s^2+5 s+K=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de s^5+5 s^4+10 s^3+10 s^2+5 s+K=0 para que todas as raízes do polinômio
estejam no Semi-Plano Esquerdo (SPE), ou seja, que todas as soluções tenham partes reais negativas. Isso faz parte da matéria de Análise de Sistemas e Controle, mais especificamente sobre a localização das raízes de polinômios no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se todas as raízes de um polinômio têm partes reais negativas sem precisar calculá-las diretamente.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a Tabela de Routh para o polinômio dado. A Tabela de Routh é uma ferramenta que organiza os coeficientes do polinômio de maneira específica para facilitar a aplicação do critério. Vamos listar os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de potências de s^5: 1 10 5 :
s^4: 5 10 K
s^3: ?
s^2: ?
s^1: ?
s^0: ?

Passo 3

Agora, vamos preencher a Tabela de Routh passo a passo. A primeira coluna é preenchida usando os coeficientes listados:
  1. A primeira linha da tabela corresponde aos coeficientes das potências ímpares de c|ccc s^5 & 1 & 10 & 5 s^4 & 5 & 10 & K s^3 & & & s^2 & & & s^1 & & & s^0 & & & : .
  2. A segunda linha corresponde aos coeficientes das potências pares de : .
Então, temos:

Passo 4

Para preencher a linha de s^3: (5 times 10) - (1 times 10)5 = 50 - 105 = 405 = 8 , usamos a seguinte fórmula:
c|ccc s^5 & 1 & 10 & 5 s^4 & 5 & 10 & K s^3 & 8 & & s^2 & & & s^1 & & & s^0 & & &
Então, adicionamos o 8 à tabela:

Passo 5

Agora, preenchemos a linha de s^2: (8 times 10) - (5 times K)8 = 80 - 5K8 = 80 - 5K8 :
s^2: 10 - 5K8
Simplificando:
c|ccc s^5 & 1 & 10 & 5 s^4 & 5 & 10 & K s^3 & 8 & & s^2 & 10 - 5K8 & & s^1 & & & s^0 & & &
Então, a tabela fica:

Passo 6

Agora, preenchemos a linha de s^1: (10 - 5K8) times K - (8 times 0)10 - 5K8 = 10K - 5K^2810 - 5K8 :
Simplificando, observamos que não há e, portanto, podemos tratar o zero da coluna seguinte como zero.

Passo 7

Finalmente, a linha de s^0: K é simplesmente o último coeficiente:
c|ccc s^5 & 1 & 10 & 5 s^4 & 5 & 10 & K s^3 & 8 & & s^2 & 10 - 5K8 & & s^1 & 10K - 5K^2810 - 5K8 & & s^0 & K & &
Agora, a tabela completa fica assim:

Passo 8

Para que todas as raízes estejam no SPE, todos os elementos da primeira coluna da Tabela de Routh devem ser positivos. Então, devemos garantir que:
  1. 10 - 5K8 > 0 Rightarrow 5K8 < 10 Rightarrow K < 805 = 16 (já é verdade)
  2. K > 0
  3. 10K - 5K^28 > 0 Rightarrow K (10 - 5K8) > 0
Vamos resolver cada desigualdade:
Para a segunda condição:
Para a quarta condição:
A terceira condição é um pouco mais complicada, mas observando que o denominador já está garantido se , focamos no numerador:
Como e quando , essa condição também é satisfeita.

Resposta

Então, juntando tudo, a faixa de valores de 0 < K < 16 para que todas as raízes do polinômio estejam no SPE é:

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