Encontre a faixa de valores de
para a qual todas as raízes do seguinte polinômio estejam no SPE:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os valores de
para que todas as raízes do polinômio
estejam no Semi-Plano Esquerdo (SPE), ou seja, que todas as soluções tenham partes reais negativas. Isso faz parte da matéria de Análise de Sistemas e Controle, mais especificamente sobre a localização das raízes de polinômios no plano complexo. Para resolver isso, vamos usar o Critério de Routh-Hurwitz, que nos ajuda a determinar se todas as raízes de um polinômio têm partes reais negativas sem precisar calculá-las diretamente.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a Tabela de Routh para o polinômio dado. A Tabela de Routh é uma ferramenta que organiza os coeficientes do polinômio de maneira específica para facilitar a aplicação do critério. Vamos listar os coeficientes do polinômio em ordem decrescente de potências de
:
Passo 3
Agora, vamos preencher a Tabela de Routh passo a passo. A primeira coluna é preenchida usando os coeficientes listados:
- A primeira linha da tabela corresponde aos coeficientes das potências ímpares de
: . - A segunda linha corresponde aos coeficientes das potências pares de
: .
Então, temos:
Passo 4
Para preencher a linha de
, usamos a seguinte fórmula:
Então, adicionamos o 8 à tabela:
Passo 5
Agora, preenchemos a linha de
:
Simplificando:
Então, a tabela fica:
Passo 6
Agora, preenchemos a linha de
:
Simplificando, observamos que não há
e, portanto, podemos tratar o zero da coluna seguinte como zero.
Passo 7
Finalmente, a linha de
é simplesmente o último coeficiente:
Agora, a tabela completa fica assim:
Passo 8
Para que todas as raízes estejam no SPE, todos os elementos da primeira coluna da Tabela de Routh devem ser positivos. Então, devemos garantir que:
-
(já é verdade) -
-
-
Vamos resolver cada desigualdade:
Para a segunda condição:
Para a quarta condição:
A terceira condição é um pouco mais complicada, mas observando que o denominador
já está garantido se
, focamos no numerador:
Como
e
quando
, essa condição também é satisfeita.
Resposta
Então, juntando tudo, a faixa de valores de
para que todas as raízes do polinômio estejam no SPE é: