Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
f(x)=\frac{g^{x}}{\operatorname{tg}\left(x^{3}\right)}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{g^{x}}{\operatorname{tg}\left(x^{3}\right)}
Pergunta: calcular f'(x) usando a regra da cadeia. Vou assumir que g é uma constante positiva ( g>0), que é o caso padrão quando se escreve g^{x} (se g fosse uma função dependente de x o enunciado normalmente escreveria g(x)^{x}). Mantendo essa suposição, as informações relevantes são:
\text{numerador: } u(x)=g^{x},\qquad \text{denominador: } v(x)=\operatorname{tg}\left(x^{3}\right).

Passo 2

Lembrete (pequena aula): derivada de uma exponencial com base constante. Para uma constante a>0,
\frac{d}{dx}a^{x}=a^{x}\ln a.
Explicação rápida: escrevemos a^{x}=e^{x\ln a} e aplicamos a regra da cadeia em e^{(\cdot)}. Aqui a=g, logo
u'(x)=\frac{d}{dx}g^{x}=g^{x}\ln g.
Nesta fórmula, g^{x} é a própria função exponencial e \ln g é a constante que aparece por derivarmos o expoente x.

Passo 3

Lembrete (pequena aula): derivada de \operatorname{tg}(u) pela regra da cadeia. Se w(x)=\operatorname{tg}(u(x)), então
w'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(u(x))=\operatorname{sec}^{2}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Outra forma equivalente (sem usar \operatorname{sec}) é
\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(u(x))=\frac{1}{\cos^{2}\bigl(u(x)\bigr)}\cdot u'(x).
No nosso caso u(x)=x^{3}, portanto u'(x)=3x^{2}. Assim
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)=\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}.

Passo 4

Lembrete (pequena aula): regra do quociente. Se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com u e v diferenciáveis e v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui já temos u(x)=g^{x}, u'(x)=g^{x}\ln g, v(x)=\operatorname{tg}(x^{3}), v'(x)=3x^{2}\operatorname{sec}^{2}(x^{3}). Substituímos tudo na fórmula do quociente.

Passo 5

Substituindo:
\begin{aligned} f'(x) &=\frac{\bigl(g^{x}\ln g\bigr)\cdot \operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)-g^{x}\cdot\bigl(3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)}{\bigl(\operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)^{2}}\\[6pt] &=\frac{g^{x}\Bigl(\ln g\cdot \operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)-3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\Bigr)}{\bigl(\operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)^{2}}. \end{aligned}
Expliquei os passos: primeiro calculei u' e v' separadamente usando regra da cadeia; depois apliquei a regra do quociente e finalmente fatorizei g^{x} no numerador para deixar a expressão mais enxuta.]

Resposta

f'(x)=\frac{g^{x}\Bigl(\ln g\cdot \operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)-3x^{2}\operatorname{sec}^{2}\bigl(x^{3}\bigr)\Bigr)}{\bigl(\operatorname{tg}\bigl(x^{3}\bigr)\bigr)^{2}}

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