Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado dá a função
Pergunta: calcular
usando a regra da cadeia. Vou assumir que
é uma constante positiva (
), que é o caso padrão quando se escreve
(se
fosse uma função dependente de
o enunciado normalmente escreveria
). Mantendo essa suposição, as informações relevantes são:
Passo 2
Lembrete (pequena aula): derivada de uma exponencial com base constante. Para uma constante
,
Explicação rápida: escrevemos
e aplicamos a regra da cadeia em
. Aqui
, logo
Nesta fórmula,
é a própria função exponencial e
é a constante que aparece por derivarmos o expoente
.
Passo 3
Lembrete (pequena aula): derivada de
pela regra da cadeia. Se
, então
Outra forma equivalente (sem usar
) é
No nosso caso
, portanto
. Assim
Passo 4
Lembrete (pequena aula): regra do quociente. Se
com
e
diferenciáveis e
, então
Aqui já temos
,
,
,
. Substituímos tudo na fórmula do quociente.
Passo 5
Substituindo:
Expliquei os passos: primeiro calculei
e
separadamente usando regra da cadeia; depois apliquei a regra do quociente e finalmente fatorizei
no numerador para deixar a expressão mais enxuta.]