Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
\mathrm{f}(\mathrm{x})=3 e^{3 x}+2 x

Passo 1

O enunciado fornece a função \mathrm{f}(\mathrm{x}) = 3 e^{3 x} + 2 x e pede para determinar sua derivada usando a regra da cadeia.
Informações relevantes:
  • A função é soma de duas parcelas: 3 e^{3 x} e 2 x.
  • Precisamos aplicar regras de derivação (soma, constante multiplicativa e cadeia) para encontrar \mathrm{f}'(\mathrm{x}).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicação didática):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se F(x)=A(x)+B(x) então F'(x)=A'(x)+B'(x).
  • Constante multiplicativa: se c é constante e g(x) uma função, (c\cdot g(x))' = c\cdot g'(x). Isso facilita quando temos um número multiplicando uma função.
  • Regra da cadeia (o ponto central aqui): se temos uma composição G(x)=h(u(x)), então a derivada é G'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x). Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada da exponencial: para a função e^{t} em que t é uma expressão que depende de x, usando a cadeia obtemos \dfrac{d}{dx} e^{t(x)} = t'(x)\,e^{t(x)}. No caso especial de t(x)=x, fica \dfrac{d}{dx} e^{x} = e^{x}.

Passo 3

Identificamos as partes da função \mathrm{f}(\mathrm{x}) = 3 e^{3 x} + 2 x:
  • Parte A: A(x)=3 e^{3 x}. É uma constante 3 multiplicando e^{3x}. Para derivar usaremos a regra da constante multiplicativa + regra da cadeia sobre e^{3x}.
  • Parte B: B(x)=2 x. É uma função linear simples; sua derivada é a constante multiplicadora 2.

Passo 4

Derivando a parte A passo a passo: A(x)=3\cdot e^{3x}. Pela regra da constante multiplicativa:
A'(x)=3\cdot \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr).
Agora aplicamos a regra da cadeia em \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr). Tomamos a função externa h(t)=e^{t} e a função interna u(x)=3x. Segundo a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr)=h'(u(x))\cdot u'(x).
Sabemos que h'(t)=e^{t} e u'(x)=\dfrac{d}{dx}(3x)=3. Portanto:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}\bigr)=e^{3x}\cdot 3 = 3 e^{3x}.
Voltando a A'(x):
A'(x)=3\cdot \bigl(3 e^{3x}\bigr)=9 e^{3x}.

Passo 5

Derivando a parte B: B(x)=2x. A derivada de uma função linear c x é simplesmente a constante c. Assim,
B'(x)=2.

Passo 6

Aplicando a regra da soma (derivada da soma é soma das derivadas):
\mathrm{f}'(\mathrm{x}) = A'(x) + B'(x) = 9 e^{3x} + 2.

Resposta

9 e^{3x} + 2

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