Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para determinar sua derivada usando a regra da cadeia.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é soma de duas parcelas:
e . - Precisamos aplicar regras de derivação (soma, constante multiplicativa e cadeia) para encontrar
.
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicação didática):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então . - Constante multiplicativa: se
é constante e uma função, . Isso facilita quando temos um número multiplicando uma função. - Regra da cadeia (o ponto central aqui): se temos uma composição
, então a derivada é . Em palavras: derivar a função externa mantendo a interna, e multiplicar pela derivada da função interna. - Derivada da exponencial: para a função
em que é uma expressão que depende de , usando a cadeia obtemos . No caso especial de , fica .
Passo 3
Identificamos as partes da função
:
- Parte A:
. É uma constante multiplicando . Para derivar usaremos a regra da constante multiplicativa + regra da cadeia sobre . - Parte B:
. É uma função linear simples; sua derivada é a constante multiplicadora .
Passo 4
Derivando a parte A passo a passo:
. Pela regra da constante multiplicativa:
Agora aplicamos a regra da cadeia em
. Tomamos a função externa
e a função interna
. Segundo a regra da cadeia:
Sabemos que
e
. Portanto:
Voltando a
:
Passo 5
Derivando a parte B:
. A derivada de uma função linear
é simplesmente a constante
. Assim,
Passo 6
Aplicando a regra da soma (derivada da soma é soma das derivadas):