Considerando as funções a seguir, determine suas derivadas com a regra da cadeia.
f(x)=2^{x} \cdot \sqrt{x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=2^{x}\cdot\sqrt{x^{2}-2}.
Informações dadas e observações úteis:
\text{a)}\; f(x) \text{ é produto de duas funções: } u(x)=2^{x}\text{ e }v(x)=\sqrt{x^{2}-2}.éçõ
\text{b)}\; \text{A raiz exige }x^{2}-2>0,\text{ ou seja }|x|>\sqrt{2}\text{ (domínio onde a expressão está definida).}íãá
A tarefa é determinar f'(x).

Passo 2

Vamos usar a regra do produto para derivar f(x)=u(x)v(x). A regra do produto diz que
(f)'\;=\;u'v+uv'.
Isto significa que precisamos calcular separadamente u'(x) e v'(x) e depois somar u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

Passo 3

Calcular u'(x) para u(x)=2^{x}.
Explicação da fórmula: podemos escrever 2^{x}=e^{x\ln 2}. Derivando e^{x\ln 2} pela regra da cadeia obtemos
\frac{d}{dx}e^{x\ln 2}=e^{x\ln 2}\cdot\ln 2.
Voltando à base 2,
u'(x)=2^{x}\ln 2.
Aqui \ln 2 é a constante derivada de x\ln 2.

Passo 4

Calcular v'(x) para v(x)=\sqrt{x^{2}-2}=(x^{2}-2)^{1/2}.
Usamos a regra da cadeia: se v(x)=g(h(x)) com g(t)=t^{1/2} e h(x)=x^{2}-2, então
v'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Derivada de g(t)=t^{1/2} é g'(t)=\tfrac{1}{2}t^{-1/2}. Derivada de h(x)=x^{2}-2 é h'(x)=2x. Assim,
v'(x)=\frac{1}{2}(x^{2}-2)^{-1/2}\cdot 2x.
Simplificando os fatores 2:
v'(x)=x\,(x^{2}-2)^{-1/2}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}.

Passo 5

Aplicar a regra do produto com os resultados obtidos.
Temos u'(x)=2^{x}\ln 2 e v'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}. Então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
f'(x)=\bigl(2^{x}\ln 2\bigr)\cdot\sqrt{x^{2}-2}+2^{x}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}.

Passo 6

Fatorar 2^{x} para simplificar e, em seguida, colocar em um denominador comum \sqrt{x^{2}-2}.
Fatorando:
f'(x)=2^{x}\left(\ln 2\cdot\sqrt{x^{2}-2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}\right).
Para somar os termos dentro do parêntese, escrevemos \ln 2\cdot\sqrt{x^{2}-2} com denominador \sqrt{x^{2}-2}:
\ln 2\cdot\sqrt{x^{2}-2}=\frac{\ln 2\,(x^{2}-2)}{\sqrt{x^{2}-2}}.
Somando com \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}-2}} obtemos
\ln 2\cdot\sqrt{x^{2}-2}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-2}}=\frac{\ln 2\,(x^{2}-2)+x}{\sqrt{x^{2}-2}}.
Portanto
f'(x)=2^{x}\,\frac{\ln 2\,(x^{2}-2)+x}{\sqrt{x^{2}-2}},
válido para x com |x|>\sqrt{2} (onde a raiz está definida e o denominador não é zero).

Resposta

f'(x)=2^{x}\,\frac{\ln 2\,(x^{2}-2)+x}{\sqrt{x^{2}-2}}

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