Considerando as informações abaixo, determine: a) tensão eficaz; b) corrente eficaz; c) potência ativa; d) potência aparente; e) potência reativa; f) fator de potência.
\begin{aligned} & \mathbf{Z}=3+j 4 \Omega \\\ & v=42.5 \cos \left(1000 t+30^{\circ}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá uma fonte senoidal v(t)=42.5\cos(1000t+30^\circ) aplicada a um circuito de impedância \mathbf{Z}=3+j4\\ \Omega. Vamos precisar calcular a tensão eficaz, a corrente eficaz, e depois as potências aparente, ativa e reativa, além do fator de potência. Para isso usamos as relações entre valor de pico e valor RMS, a lei de Ohm em fasores e as definições de P, Q, S e \cos\varphi.

Passo 2

Primeiro encontramos a tensão RMS
V_{\rm rms}=\frac{V_{\rm m}}{\sqrt{2}} =\frac{42.5}{\sqrt{2}} \approx 30.05\\ \mathrm V.

Passo 3

Em seguida calculamos a magnitude da impedância e a corrente de pico:
|Z|=\sqrt{3^2+4^2}=5\\ \Omega, \quad I_{\rm m}=\frac{V_{\rm m}}{|Z|}=\frac{42.5}{5}=8.5\\ \mathrm A.
Logo a corrente RMS é
I_{\rm rms}=\frac{I_{\rm m}}{\sqrt{2}} =\frac{8.5}{\sqrt{2}} \approx 6.01\\ \mathrm A.

Passo 4

O módulo da potência aparente é
S=V_{\rm rms}\,I_{\rm rms} \approx 30.05\times 6.01 \approx 180.6\\ \mathrm{VA}.

Passo 5

O ângulo da impedância é
\varphi_Z=\arctan\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\approx 53.13^\circ,
portanto o fator de potência (corrente atrasada) é
\cos\varphi=\cos(53.13^\circ)=0.6.
A potência ativa é
P=S\cos\varphi \approx 180.6\times 0.6 \approx 108.4\\ \mathrm W,
e a potência reativa é
Q=S\sin\varphi =180.6\times 0.8 \approx 144.5\\ \mathrm{var}.

Resposta

a) Tensão eficaz: 30.05\\ \mathrm V
b) Corrente eficaz: 6.01\\ \mathrm A
c) Potência ativa: 108.4\\ \mathrm W
d) Potência aparente: 180.6\\ \mathrm{VA}
e) Potência reativa: 144.5\\ \mathrm{var}
f) Fator de potência: 0.6 (atrasado)

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