Considere a seguinte expressão algébrica para a transformada
de um sinal
:
Supondo que a RDC seja
, use a divisão longa para determinar os valores de
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada
e informa que a região de convergência é
.
O que é pedido: determinar os valores de ,
e
.
O que é pedido: determinar os valores de
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão algébrica de
acima. - A ROC
(isso indica que a expansão que converge é em potências positivas de , isto é uma série em , ). - Lembrete: a definição da transformada z é
. Assim, o coeficiente da potência em uma expansão em potências de corresponde a . Em particular: - coeficiente de
= , - coeficiente de
= , - coeficiente de
= .
- coeficiente de
Passo 2
Para usar divisão longa (série de potências) vamos procurar uma expansão de
na forma
válida para
. Aqui
são coeficientes desconhecidos e, conforme observado,
(logo
,
,
).
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da expressão original por
(ou reorganizamos) para obter uma forma conveniente em potências de
. Primeiro escrevemos
Agora multiplicamos a igualdade
pelo denominador
. Isso dá
Passo 4
Expandimos o produto à esquerda separando as somas:
Agora igualamos coeficientes das potências de
com o lado direito
.
Começamos por
: o único termo que contribui para
na soma é
. Portanto
Portanto
.
Passo 5
Agora igualamos coeficientes de
. Os termos que dão
são
(proveniente de
com
) e
(proveniente de
com
). Assim
Substituindo
obtemos
Portanto
.
Passo 6
Para
: os termos são
(de
com
) e
(de
com
). O lado direito não tem termo em
, então a igualdade dá
Substituindo
resulta
Portanto
.
Passo 7
Comentário rápido (verificação e padrão): a partir das igualdades gerais pode-se obter a recorrência para
o que gera a sequência
. Isso é consistente com uma expansão em série geométrica (mas aqui usamos explicitamente o procedimento de coeficientes/“divisão longa”).