Considere a seguinte expressão algébrica para a transformada z X(z) de um sinal x[n] :
X(z)=\frac{1+z^{-1}}{1+\frac{1}{3} z^{-1}}
Supondo que a RDC seja |z|<1 / 3, use a divisão longa para determinar os valores de x[0], x[-1] \mathrm{e} x[-2].

Passo 1

O enunciado dá a transformada
X(z)=\frac{1+z^{-1}}{1+\tfrac{1}{3}z^{-1}}
e informa que a região de convergência é |z|<\tfrac{1}{3}.
O que é pedido: determinar os valores de x[0], x[-1] e x[-2].
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão algébrica de X(z) acima.
  • A ROC |z|<\tfrac{1}{3} (isso indica que a expansão que converge é em potências positivas de z, isto é uma série em z^k, k\ge0).
  • Lembrete: a definição da transformada z é \displaystyle X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}. Assim, o coeficiente da potência z^k em uma expansão em potências de z corresponde a x[-k]. Em particular:
    • coeficiente de z^0 = x[0],
    • coeficiente de z^1 = x[-1],
    • coeficiente de z^2 = x[-2].

Passo 2

Para usar divisão longa (série de potências) vamos procurar uma expansão de X(z) na forma
X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k,
válida para |z|<\tfrac{1}{3}. Aqui a_k são coeficientes desconhecidos e, conforme observado, a_k = x[-k] (logo a_0=x[0], a_1=x[-1], a_2=x[-2]).

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da expressão original por z (ou reorganizamos) para obter uma forma conveniente em potências de z. Primeiro escrevemos
X(z)=\frac{z+1}{z+\tfrac{1}{3}}.
Agora multiplicamos a igualdade X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k pelo denominador z+\tfrac{1}{3}. Isso dá
\bigl(z+\tfrac{1}{3}\bigr)\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k = z+1.

Passo 4

Expandimos o produto à esquerda separando as somas:
\bigl(z+\tfrac{1}{3}\bigr)\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k = \sum_{k=0}^{\infty} a_k z^{k+1} + \tfrac{1}{3}\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k.
Agora igualamos coeficientes das potências de z com o lado direito z+1 = 1\cdot z^0 + 1\cdot z^1 + 0\cdot z^2 + \cdots.
Começamos por z^0: o único termo que contribui para z^0 na soma é \tfrac{1}{3}a_0. Portanto
\tfrac{1}{3}a_0 = 1 \quad\Rightarrow\quad a_0 = 3.
Portanto x[0]=a_0=3.

Passo 5

Agora igualamos coeficientes de z^1. Os termos que dão z^1 são a_0 (proveniente de \sum a_k z^{k+1} com k=0) e \tfrac{1}{3}a_1 (proveniente de \tfrac{1}{3}\sum a_k z^k com k=1). Assim
a_0 + \tfrac{1}{3}a_1 = 1.
Substituindo a_0=3 obtemos
3 + \tfrac{1}{3}a_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{3}a_1 = -2 \quad\Rightarrow\quad a_1 = -6.
Portanto x[-1]=a_1=-6.

Passo 6

Para z^2: os termos são a_1 (de \sum a_k z^{k+1} com k=1) e \tfrac{1}{3}a_2 (de \tfrac{1}{3}\sum a_k z^k com k=2). O lado direito não tem termo em z^2, então a igualdade dá
a_1 + \tfrac{1}{3}a_2 = 0.
Substituindo a_1=-6 resulta
-6 + \tfrac{1}{3}a_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{3}a_2 = 6 \quad\Rightarrow\quad a_2 = 18.
Portanto x[-2]=a_2=18.

Passo 7

Comentário rápido (verificação e padrão): a partir das igualdades gerais pode-se obter a recorrência para k\ge1
a_{k-1} + \tfrac{1}{3} a_k = 0 \quad\Rightarrow\quad a_k = -3 a_{k-1},
o que gera a sequência a_0=3,\\ a_1=-6,\\ a_2=18,\\ \dots. Isso é consistente com uma expansão em série geométrica (mas aqui usamos explicitamente o procedimento de coeficientes/“divisão longa”).

Resposta

x[0]=3
x[-1]=-6
x[-2]=18

Exercícios relacionados