O que se pede: encontrar a transformada inversa de X(z), ou seja, determinar a sequência discreta x[n] tal que X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}.
Informações relevantes fornecidas:
A expressão de X(z) (já escrita acima).
A região indicada no enunciado é |z|>0 (mas veremos a ROC verdadeira que surge da forma padrão do termo).
Não há imagens nem outros dados.
Passo 2
Escolha do método e recordando propriedades úteis (explicação didática, passo a passo).
Linearidade: a transformada \mathcal{Z}\{\cdot\}\) é linear. Se \(X(z)=A(z)-B(z)\), então \(x[n]=a[n]-b[n]\), onde \(a[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{A(z)\}\) e \(b[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{B(z)\}\).
- Par paridade básica que usaremos: para \(a\in\mathbb{C}\),
\[\frac{1}{1-a z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-n},
para |z|>|a|. Dessa expansão segue o par transformada/tempo:
Sem o fator z^{-10}, a parte \dfrac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} corresponde a \left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n] (como no passo anterior). Multiplicar por z^{-10} desloca no tempo em +10 unidades, portanto
Combinar os dois resultados (linearidade) e escrever a forma final, também em forma peça a peça.
Da soma algébrica no domínio z\) tinha-se diferença entre primeiro e segundo termo, então
\[x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n]-1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-10].
Podemos fatorar \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} se quisermos:
(para n\ge10\] temos \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}-1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=-999\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}). Note que a ROC natural para a expansão utilizada é |z|>\tfrac{1}{2} (sequência causal).]