10.11 Encontre a transformada z inversa de
X(z)=\frac{1}{1.024}\left[\frac{1.024-z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}\right], \quad|z|>0

Passo 1

O enunciado dá a função de z:
X(z)=\frac{1}{1.024}\left[\frac{1.024-z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}\right],\qquad |z|>0
O que se pede: encontrar a transformada inversa de X(z), ou seja, determinar a sequência discreta x[n] tal que X(z)=\mathcal{Z}\{x[n]\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de X(z) (já escrita acima).
  • A região indicada no enunciado é |z|>0 (mas veremos a ROC verdadeira que surge da forma padrão do termo).
  • Não há imagens nem outros dados.

Passo 2

Escolha do método e recordando propriedades úteis (explicação didática, passo a passo).
  • Linearidade: a transformada \mathcal{Z}\{\cdot\}\) é linear. Se \(X(z)=A(z)-B(z)\), então \(x[n]=a[n]-b[n]\), onde \(a[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{A(z)\}\) e \(b[n]=\mathcal{Z}^{-1}\{B(z)\}\). - Par paridade básica que usaremos: para \(a\in\mathbb{C}\), \[\frac{1}{1-a z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} z^{-n},
para |z|>|a|. Dessa expansão segue o par transformada/tempo:
\mathcal{Z}\{a^{n}u[n]\}=\frac{1}{1-a z^{-1}},\qquad \text{ROC: }|z|>|a|,
onde u[n] é a função degrau unitário discreta definida por
u[n]=\begin{cases}1,&n\ge 0,\\\ 0,&n<0.\end{cases}
  • Propriedade de deslocamento no tempo: multiplicar uma função no domínio z\] por \(z^{-k} corresponde a deslocar a sequência no tempo:
\mathcal{Z}\{x[n-k]u[n-k]\}=z^{-k}X(z).
Ou dito ao contrário, se X_0(z)=\mathcal{Z}\{x_0[n]\}, então \mathcal{Z}^{-1}\{z^{-k}X_0(z)\}=x_0[n-k]u[n-k].
  • Raciocínio prático: vamos decompor X(z) em termos do padrão 1/(1-a z^{-1}) e usar linearidade + deslocamento.

Passo 3

Fazer a álgebra de decomposição do X(z) para termos conhecidos.
X(z)=\frac{1}{1.024}\left[\frac{1.024-z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}\right] =\frac{1}{1.024}\left[\frac{1.024}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}-\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}\right].
Agora distribuo o fator 1/1.024:
X(z)=\frac{1.024}{1.024}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}-\frac{1}{1.024}\cdot\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}.
Como \dfrac{1.024}{1.024}=1, obtemos
X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}-\frac{1}{1.024}\cdot\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}.
É conveniente escrever 1/1.024 como fração exata. Note que 1{,}024=\dfrac{1024}{1000}=\dfrac{128}{125}, logo
\frac{1}{1.024}=\frac{125}{128}.
Assim
X(z)=\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}-\frac{125}{128}\cdot\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}.

Passo 4

Inversa do primeiro termo.
O primeiro termo é exatamente do tipo padrão com a=\tfrac{1}{2}:
\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} \xrightarrow{\mathcal{Z}^{-1}} \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} u[n],
com ROC |z|>\tfrac{1}{2}. Explicando por que: expandindo em série geométrica
\frac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^n z^{-n},
o coeficiente de z^{-n} é \left(\tfrac{1}{2}\right)^n, que é justamente x[n] para n\ge0 e zero para n<0.

Passo 5

Inversa do segundo termo usando deslocamento.
O segundo termo é
\frac{125}{128}\cdot\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}.
Sem o fator z^{-10}, a parte \dfrac{1}{1-\frac{1}{2} z^{-1}} corresponde a \left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n] (como no passo anterior). Multiplicar por z^{-10} desloca no tempo em +10 unidades, portanto
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}\right\}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-10}u[n-10].
Agora aplicamos o fator \dfrac{125}{128}:
\mathcal{Z}^{-1}\left\{\frac{125}{128}\cdot\frac{z^{-10}}{1-\frac{1}{2} z^{-1}}\right\} =\frac{125}{128}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-10}u[n-10].
Podemos simplificar esse fator numérico: \left(\tfrac{1}{2}\right)^{\,n-10}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^n 2^{10} e 2^{10}=1024. Então
\frac{125}{128}\cdot 1024=\frac{125\cdot1024}{128}=125\cdot 8=1000.
Logo a segunda parte no domínio do tempo fica
1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n-10].

Passo 6

Combinar os dois resultados (linearidade) e escrever a forma final, também em forma peça a peça.
Da soma algébrica no domínio z\) tinha-se diferença entre primeiro e segundo termo, então \[x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n]-1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n-10].
Podemos fatorar \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} se quisermos:
x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}\bigl(u[n]-1000\,u[n-10]\bigr).
Expressão peça a peça, útil para avaliar valores:
x[n]=\begin{cases} 0,& n<0,\\[4pt] \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},& 0\le n\le 9,\\[4pt] -999\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},& n\ge 10. \end{cases}
(para n\ge10\] temos \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}-1000\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=-999\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}). Note que a ROC natural para a expansão utilizada é |z|>\tfrac{1}{2} (sequência causal).]

Resposta

[x[n]=\left(\tfrac{1}{2}\right){n}u[n]-1000\left(\tfrac{1}{2}\right){n}u[n-10])
(x[n]= \begin{cases} 0,& n<0,\\[4pt] \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},& 0\le n\le 9,\\[4pt] -999\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n},& n\ge 10. \end{cases}]]

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