Considerando U=\left\{-2,-1, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1,2, \frac{10}{3}, 4\right\}, represente, enumerando seus elementos, os conjuntos abaixo.
\left\{x \in U \mid x^{2}-4 x=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para representar, enumerando seus elementos, o conjunto
\{x\in U \mid x^{2}-4x=0\},
onde o conjunto U dado é
U=\left\{-2,-1,\frac{1}{2},\frac{3}{4},1,2,\frac{10}{3},4\right\}.
Então: listar claramente quais elementos de U satisfazem a equação x^{2}-4x=0 e escrever o conjunto formado por esses elementos.

Passo 2

Resolver a equação algébrica x^{2}-4x=0. Primeiro fatoramos o polinômio colocando x em evidência:
x^{2}-4x = x\,(x-4).
Explicando a técnica: ao fatorar um polinômio, procuramos fatores comuns entre os termos. Aqui os termos são x^{2} e -4x; ambos têm o fator x, por isso escrevemos x(x-4).

Passo 3

Aplicar a propriedade do produto nulo (zero-product property): se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Assim, da igualdade
x\,(x-4)=0
segue que
x=0 \quad\text{ou}\quad x-4=0.
Resolvendo a segunda, obtemos x=4. Logo as soluções da equação são
x=0 \quad\text{e}\quad x=4.

Passo 4

Agora verificar quais dessas soluções pertencem ao conjunto U. Vou checar cada solução comparando com os elementos listados em U:
  • x=0: observando U (peguei esses elementos do enunciado), não aparece o número 0 em U. Portanto 0\notin U.
  • x=4: olhando U vê‑se que 4 está presente na lista. Portanto 4\in U.

Passo 5

Concluindo a filtragem: das soluções da equação, somente 4 pertence a U. Assim o conjunto pedido contém o único elemento 4. Força aí — esse tipo de verificação (resolver a equação e checar pertencimento) é exatamente o que costuma cair nessas questões curtas de prova.

Resposta

\{4\}
  1. \;4

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