(2 points) Determine o gradiente de f. Em seguida, calcule o gradiente no ponto P, e determine a taxa de variação de f em P na direçāo do vetor u… Por fim, determine os pontos críticos da funçāo, quando f(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 x y+4 x-2 y, P=(6,4), e \vec{u}=\frac{1}{2}(\sqrt{3 i}-\vec{j})
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
Função dada: f(x,y)=x^{2}+y^{2}+2xy+4x-2y.
Ponto: P=(6,4).
Vetor direção: \vec{u}=\dfrac{1}{2}\bigl(\sqrt{3}\,\mathbf{i}-\mathbf{j}\bigr) (interpretei a notação \sqrt{3 i} do enunciado como \sqrt{3}\,\mathbf{i}).
O enunciado pede:
Determinar o gradiente de f.
Calcular o gradiente em P.
Determinar a taxa de variação de f em P na direção de \vec{u}.
Determinar os pontos críticos de f.
Passo 2
Definição e cálculo das derivadas parciais (passo a passo).
Lembrete: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em que tratamos y como constante; similarmente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Vamos derivar termo a termo:
Para x^{2}: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x e \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
Para y^{2}: \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 e \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
Para 2xy: \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y e \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
Para 4x: \dfrac{\partial}{\partial x}(4x)=4 e \dfrac{\partial}{\partial y}(4x)=0.
Para -2y: \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y)=0 e \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y)=-2.
Determinar os pontos críticos (condição e resolução).
Definição: pontos críticos são pontos onde \nabla f(x,y)=\mathbf{0}\), isto é,
\[\begin{cases} 2x+2y+4=0,\\[4pt] 2x+2y-2=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se:
(2x+2y+4)-(2x+2y-2)=6=0,
o que é uma contradição. Logo não existe solução para o sistema; não há ponto (x,y)\] que anule simultaneamente as duas componentes do gradiente.
- Conclusão: não existem pontos críticos para \(f.]
Resposta
\nabla f(x,y)=(2x+2y+4)\,\mathbf{i}+(2x+2y-2)\,\mathbf{j} \nabla f(6,4)=24\,\mathbf{i}+18\,\mathbf{j} D_{\vec{u}}f(6,4)=12\sqrt{3}-9
Nenhum ponto crítico.