(2 points) Determine o gradiente de f. Em seguida, calcule o gradiente no ponto P, e determine a taxa de variação de f em P na direçāo do vetor u… Por fim, determine os pontos críticos da funçāo, quando f(x, y)=x^{2}+y^{2}+2 x y+4 x-2 y, P=(6,4), e \vec{u}=\frac{1}{2}(\sqrt{3 i}-\vec{j})

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado).
  • Função dada: f(x,y)=x^{2}+y^{2}+2xy+4x-2y.
  • Ponto: P=(6,4).
  • Vetor direção: \vec{u}=\dfrac{1}{2}\bigl(\sqrt{3}\,\mathbf{i}-\mathbf{j}\bigr) (interpretei a notação \sqrt{3 i} do enunciado como \sqrt{3}\,\mathbf{i}).
    O enunciado pede:
  1. Determinar o gradiente de f.
  2. Calcular o gradiente em P.
  3. Determinar a taxa de variação de f em P na direção de \vec{u}.
  4. Determinar os pontos críticos de f.

Passo 2

Definição e cálculo das derivadas parciais (passo a passo).
  • Lembrete: a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f em que tratamos y como constante; similarmente para \dfrac{\partial f}{\partial y}.
    Vamos derivar termo a termo:
  • Para x^{2}: \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x e \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2})=0.
  • Para y^{2}: \dfrac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 e \dfrac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y.
  • Para 2xy: \dfrac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y e \dfrac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x.
  • Para 4x: \dfrac{\partial}{\partial x}(4x)=4 e \dfrac{\partial}{\partial y}(4x)=0.
  • Para -2y: \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y)=0 e \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y)=-2.
Somando as contribuições para cada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+0+2y+4+0=2x+2y+4,
\frac{\partial f}{\partial y}=0+2y+2x+0-2=2x+2y-2.

Passo 3

Formação do gradiente a partir das parciais.
  • Por definição, o gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Substituindo as expressões obtidas:
\nabla f(x,y)=(2x+2y+4)\,\mathbf{i}+(2x+2y-2)\,\mathbf{j}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(6,4).
  • Primeiro calcule 2x+2y em P:
2\cdot 6 + 2\cdot 4 =12+8=20.
  • Agora as componentes:
\frac{\partial f}{\partial x}(6,4)=20+4=24, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(6,4)=20-2=18.
Logo
\nabla f(6,4)=24\,\mathbf{i}+18\,\mathbf{j}.

Passo 5

Definição da taxa de variação direcional e condição de vetor unitário.
  • A taxa de variação de f em P na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde `` \cdot’’ é o produto escalar. Se o vetor dado não for unitário, deve-se normalizá-lo antes.
  • O produto escalar entre (a,b) e (c,d) é a c + b d.

Passo 6

Verificar se \vec{u} é unitário e calcular a derivada direcional.
  • Extraio as componentes de \vec{u}:
\vec{u}=\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{3}\,\mathbf{i}-\mathbf{j}\bigr) \quad\Rightarrow\quad \vec{u}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right).
  • Comprimento de \vec{u}:
\|\vec{u}\|=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}} =\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{1}=1.
Portanto \vec{u} já é unitário.
  • Produto escalar com \nabla f(6,4)=(24,18):
D_{\vec{u}}f(6,4)=24\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+18\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) =12\sqrt{3}-9.

Passo 7

Determinar os pontos críticos (condição e resolução).
  • Definição: pontos críticos são pontos onde \nabla f(x,y)=\mathbf{0}\), isto é, \[\begin{cases} 2x+2y+4=0,\\[4pt] 2x+2y-2=0. \end{cases}
  • Subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se:
(2x+2y+4)-(2x+2y-2)=6=0,
o que é uma contradição. Logo não existe solução para o sistema; não há ponto (x,y)\] que anule simultaneamente as duas componentes do gradiente. - Conclusão: não existem pontos críticos para \(f.]

Resposta

\nabla f(x,y)=(2x+2y+4)\,\mathbf{i}+(2x+2y-2)\,\mathbf{j}
\nabla f(6,4)=24\,\mathbf{i}+18\,\mathbf{j}
D_{\vec{u}}f(6,4)=12\sqrt{3}-9
Nenhum ponto crítico.

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