Considerando uma linha infinita carregada uniformemente com densidade (lambida) embutida em um cilindro dielétrico de raio r, densidade superficial de cargas (-o) e (z^ escalar) e permeabilidade varepsilon.
Encontre as densidades de carga polarizada na superfície e no volume do cilindro e mostre que a carga total Q devido a polarização do dielétrico é nula. ( Q superfície =-Q volume)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma linha infinita com densidade linear de carga ( lambda) que está dentro de um cilindro dielétrico de raio r. Esse cilindro tem uma densidade superficial de carga -sigmao e uma componente de polarização na direção z. A permittividade do material é varepsilon. Nosso objetivo é encontrar as densidades de carga polarizada tanto na superfície quanto no volume do cilindro e mostrar que a carga total Q devido à polarização é nula, ou seja, Qsuperfície = -Qvolumeí.
Vamos precisar entender conceitos de polarização em dielétricos, cargas ligadas (ou de polarização) na superfície e no volume, e como calcular essas cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em materiais dielétricos, a polarização P descreve como as moléculas do material se alinham na presença de um campo elétrico. Essa polarização gera cargas “ligadas” que não podem se mover livremente, diferentemente das cargas livres.
As cargas ligadas são de dois tipos:
  • Carga de superfície (σₚ): Aparece na superfície do dielétrico e é dada por sigmap = P cdot n, onde n é a normal à superfície.
  • Carga de volume (ρₚ): Aparece dentro do volume do dielétrico e é dada por rhop = -nabla cdot P.

Passo 3

Vamos determinar a polarização P no nosso caso. Como a polarização tem uma componente na direção z, podemos escrever:
P = Pz z
onde Pz é a componente da polarização na direção z.

Passo 4

Para encontrar Pz, vamos relacionar com o campo elétrico E dentro do dielétrico. Usamos a relação:
D = varepsilon0 E + P
Sabemos que, no equilíbrio, a divergência de D é igual à densidade de carga livre, que no nosso caso é a linha de carga com densidade lambda. Então:
nabla cdot D = lambda de
onde de é a função delta de Dirac, indicando que a carga está na linha central.

Passo 5

Considerando simetria cilíndrica, o campo elétrico E dentro do dielétrico dependerá apenas da distância radial r. A solução para E em coordenadas cilíndricas é:
Er = lambda2pi varepsilon r
onde Er é a componente radial do campo elétrico.

Passo 6

Agora, usando a relação entre D, E e P, temos:
D = varepsilon E
Portanto,
P = D - varepsilon0 E = (varepsilon - varepsilon0) E
Assumindo que varepsilon = kappa varepsilon0, onde kappa é a constante dielétrica relativa, então:
P = (kappa varepsilon0 - varepsilon0) lambda2pi varepsilon r z = varepsilon0 (kappa - 1) lambda2pi varepsilon r z

Passo 7

Com a polarização P conhecida, vamos calcular a carga de volume rhop:
rhop = -nabla cdot P
Como P tem apenas componente z e não depende de z, a divergência em coordenadas cilíndricas é:
nabla cdot P = 1r partialpartial r (r Pr) + 1r partial Pphipartial phi + partial Pzpartial z
Mas Pr = Pphi = 0 e Pz não depende de z, então:
nabla cdot P = 0
Logo, rhop = 0. Isso indica que não há carga de volume devido à polarização neste caso específico.

Passo 8

Agora, vamos calcular a carga superficial sigmap:
sigmap = P cdot n
A normal n na superfície do cilindro aponta radialmente para fora, ou seja, na direção r. Como P está na direção z, o produto escalar é zero:
sigmap = P cdot r = 0
Portanto, também não há carga superficial devido à polarização neste caso.

Passo 9

No entanto, o enunciado menciona uma densidade superficial de carga -sigmao. Isso sugere que há uma carga superficial adicional além da causada pela polarização. Considerando isso, a única possibilidade é que essa carga superficial -sigmao seja igual e oposta à carga de volume, de forma que o total Q = Qsuperfície + Qvolume = 0í.

Passo 10

Como encontramos que rhop = 0 e sigmap = 0, a única contribuição é a carga superficial -sigmao. Então, para que a carga total de polarização seja nula:
Qsuperfície = -Qvolume í
Como Qvolume = 0, isso implica que Qsuperfície = 0í, mantendo a neutralidade total.

Resposta

Concluímos que as densidades de carga polarizada na superfície e no volume do cilindro são nulas ( sigmap = 0 e rhop = 0), o que garante que a carga total devido à polarização do dielétrico é nula, ou seja, Qsuperfície = -Qvolume = 0í.

Exercícios relacionados