Considerando uma linha infinita carregada uniformemente com densidade (lambida) embutida em um cilindro dielétrico de raio
, densidade superficial de cargas (-o) e (z^ escalar) e permeabilidade
.
Encontre as densidades de carga polarizada na superfície e no volume do cilindro e mostre que a carga total
devido a polarização do dielétrico é nula. (
superfície
volume)
Encontre as densidades de carga polarizada na superfície e no volume do cilindro e mostre que a carga total
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma linha infinita com densidade linear de carga (
) que está dentro de um cilindro dielétrico de raio
. Esse cilindro tem uma densidade superficial de carga
e uma componente de polarização na direção
. A permittividade do material é
. Nosso objetivo é encontrar as densidades de carga polarizada tanto na superfície quanto no volume do cilindro e mostrar que a carga total
devido à polarização é nula, ou seja,
.
Vamos precisar entender conceitos de polarização em dielétricos, cargas ligadas (ou de polarização) na superfície e no volume, e como calcular essas cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em materiais dielétricos, a polarização
descreve como as moléculas do material se alinham na presença de um campo elétrico. Essa polarização gera cargas “ligadas” que não podem se mover livremente, diferentemente das cargas livres.
As cargas ligadas são de dois tipos:
- Carga de superfície (σₚ): Aparece na superfície do dielétrico e é dada por
, onde é a normal à superfície. - Carga de volume (ρₚ): Aparece dentro do volume do dielétrico e é dada por
.
Passo 3
Vamos determinar a polarização
no nosso caso. Como a polarização tem uma componente na direção
, podemos escrever:
onde
é a componente da polarização na direção
.
Passo 4
Para encontrar
, vamos relacionar com o campo elétrico
dentro do dielétrico. Usamos a relação:
Sabemos que, no equilíbrio, a divergência de
é igual à densidade de carga livre, que no nosso caso é a linha de carga com densidade
. Então:
onde
é a função delta de Dirac, indicando que a carga está na linha central.
Passo 5
Considerando simetria cilíndrica, o campo elétrico
dentro do dielétrico dependerá apenas da distância radial
. A solução para
em coordenadas cilíndricas é:
onde
é a componente radial do campo elétrico.
Passo 6
Agora, usando a relação entre
,
e
, temos:
Portanto,
Assumindo que
, onde
é a constante dielétrica relativa, então:
Passo 7
Com a polarização
conhecida, vamos calcular a carga de volume
:
Como
tem apenas componente
e não depende de
, a divergência em coordenadas cilíndricas é:
Mas
e
não depende de
, então:
Logo,
. Isso indica que não há carga de volume devido à polarização neste caso específico.
Passo 8
Agora, vamos calcular a carga superficial
:
A normal
na superfície do cilindro aponta radialmente para fora, ou seja, na direção
. Como
está na direção
, o produto escalar é zero:
Portanto, também não há carga superficial devido à polarização neste caso.
Passo 9
No entanto, o enunciado menciona uma densidade superficial de carga
. Isso sugere que há uma carga superficial adicional além da causada pela polarização. Considerando isso, a única possibilidade é que essa carga superficial
seja igual e oposta à carga de volume, de forma que o total
.
Passo 10
Como encontramos que
e
, a única contribuição é a carga superficial
. Então, para que a carga total de polarização seja nula:
Como
, isso implica que
, mantendo a neutralidade total.
Resposta
Concluímos que as densidades de carga polarizada na superfície e no volume do cilindro são nulas (
e
), o que garante que a carga total devido à polarização do dielétrico é nula, ou seja,
.