Utilizando o método das imagens encontre a função de interação entre um dípolo e um plano condutor perfeito.
( p escalar =q mid x^wed>= )

Passo 1

Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para, usando o método das imagens, encontrar a função de interação entre um dípolo e um plano condutor perfeito. Esse problema está na área de Eletrostática, mais especificamente no estudo de dipolos elétricos próximos a superfícies condutoras. Para resolver, vamos precisar entender o método das imagens e como ele se aplica a dipolos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um dípolo elétrico. Um dípolo é composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma certa distância. No nosso caso, o dípolo é dado por $ \mathbf{p} = q \hat{x} $, ou seja, tem uma magnitude $ q $ e está orientado ao longo do eixo $ x $.

Passo 3

Agora, o método das imagens é uma técnica que simplifica problemas envolvendo condutores. A ideia é substituir o condutor por uma imagem fictícia que reproduza as condições de contorno do problema. Para um plano condutor perfeito, a imagem do nosso dípolo será outro dípolo com algumas características específicas.

Passo 4

Considerando que o plano condutor está no plano $ z = 0 $ e o dípolo real está a uma distância $ d $ acima do plano, a imagem do dípolo estará a uma distância $ d $ abaixo do plano, ou seja, na posição $ z = -d $. Além disso, a orientação do dípolo imagem será equivalente à do dípolo real, pois o plano condutor não inverte a orientação dos dipolos paralelos.

Passo 5

Para encontrar a interação entre o dípolo real e o plano condutor, na verdade, estamos calculando a interação entre o dípolo real e seu dípolo imagem. A energia de interação $ U $ entre dois dipolos $ \mathbf{p} $ e $ \mathbf{p}’ $ separados por um vetor $ \mathbf{r} $ é dada pela fórmula:
U

Passo 6

No nosso caso, o dípolo imagem $ \mathbf{p}’ $ é igual a $ \mathbf{p} $ e a distância $ r $ entre eles é $ 2d $ (já que estão simetricamente posicionados em relação ao plano condutor). Além disso, como ambos os dipolos estão alinhados na direção $ x $, o ângulo entre $ \mathbf{p} $ e $ \mathbf{r} $ é zero.

Passo 7

Substituindo na fórmula, temos:
U = 14pivarepsilon0 ( p^2(2d)^3 - 3 p^2 (1)(1)(2d)^5 )
Simplificando:
U = 14pivarepsilon0 ( p^28d^3 - 3 p^232d^5 )

Resposta

A função de interação entre o dípolo e o plano condutor perfeito é dada por:
U = p^24pivarepsilon0 ( 18d^3 - 332d^5 )

Exercícios relacionados