Utilizando o método das imagens encontre a função de interação entre um dípolo e um plano condutor perfeito.
(
escalar
)
(
Passo 1
Oi! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para, usando o método das imagens, encontrar a função de interação entre um dípolo e um plano condutor perfeito. Esse problema está na área de Eletrostática, mais especificamente no estudo de dipolos elétricos próximos a superfícies condutoras. Para resolver, vamos precisar entender o método das imagens e como ele se aplica a dipolos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um dípolo elétrico. Um dípolo é composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma certa distância. No nosso caso, o dípolo é dado por $ \mathbf{p} = q \hat{x} $, ou seja, tem uma magnitude $ q $ e está orientado ao longo do eixo $ x $.
Passo 3
Agora, o método das imagens é uma técnica que simplifica problemas envolvendo condutores. A ideia é substituir o condutor por uma imagem fictícia que reproduza as condições de contorno do problema. Para um plano condutor perfeito, a imagem do nosso dípolo será outro dípolo com algumas características específicas.
Passo 4
Considerando que o plano condutor está no plano $ z = 0 $ e o dípolo real está a uma distância $ d $ acima do plano, a imagem do dípolo estará a uma distância $ d $ abaixo do plano, ou seja, na posição $ z = -d $. Além disso, a orientação do dípolo imagem será equivalente à do dípolo real, pois o plano condutor não inverte a orientação dos dipolos paralelos.
Passo 5
Para encontrar a interação entre o dípolo real e o plano condutor, na verdade, estamos calculando a interação entre o dípolo real e seu dípolo imagem. A energia de interação $ U $ entre dois dipolos $ \mathbf{p} $ e $ \mathbf{p}’ $ separados por um vetor $ \mathbf{r} $ é dada pela fórmula:
Passo 6
No nosso caso, o dípolo imagem $ \mathbf{p}’ $ é igual a $ \mathbf{p} $ e a distância $ r $ entre eles é $ 2d $ (já que estão simetricamente posicionados em relação ao plano condutor). Além disso, como ambos os dipolos estão alinhados na direção $ x $, o ângulo entre $ \mathbf{p} $ e $ \mathbf{r} $ é zero.
Passo 7
Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando:
Resposta
A função de interação entre o dípolo e o plano condutor perfeito é dada por: