Considerando uma linha infinita carregada uniformemente com densidade (lambida) embutida em um cilindro dielétrico de raio r, densidade superficial de cargas (-o) e ( escalar) e permeabilidade z^.
Calcule a ddp entre a linha e a superfície do cilindro e encontre a capacitância C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a diferença de potencial (ddp) entre uma linha infinita carregada uniformemente e a superfície de um cilindro dielétrico que a envolve. Além disso, precisamos encontrar a capacitância $ C $ desse sistema. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Eletrostática, principalmente a Lei de Gauss para campos elétricos e a definição de capacitância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma linha infinita carregada. Imagine uma linha muito comprida, de tal forma que podemos considerar seu comprimento como infinito para facilitar os cálculos. Essa linha tem uma densidade linear de carga $ \lambda $, que é a quantidade de carga por unidade de comprimento.

Passo 3

Agora, essa linha está inserida dentro de um cilindro dielétrico de raio $ r $. Um dielétrico é um material que não conduz eletricidade, mas pode suportar um campo elétrico. O cilindro possui uma densidade superficial de carga $ \sigma $, que está distribuída uniformemente na sua superfície.

Passo 4

Para encontrar a diferença de potencial entre a linha e a superfície do cilindro, vamos usar a Lei de Gauss. Essa lei nos ajuda a calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga simétrica, como essa linha infinita.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss a uma superfície cilíndrica de raio $ r $ concêntrico com a linha de carga, podemos encontrar o campo elétrico $ E $ gerado pela linha. A Lei de Gauss nos diz que:
r
Onde:
  • $ \vec{E} $ é o campo elétrico,
  • $ d\vec{A} $ é um elemento de área da superfície Gaussian,
  • $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície Gaussian,
  • $ \varepsilon $ é a permissividade do material (no caso, do dielétrico).

Passo 6

Para a linha infinita, a carga total $ Q_{enc} $ dentro da superfície Gaussian de comprimento $ L $ é:
Qenc
E a área da superfície lateral do cilindro Gaussian é:
L

Passo 7

Substituindo na Lei de Gauss:
E cdot 2pi r L = lambda Lvarepsilon
Simplificando $ L $ dos dois lados:
L
Então, o campo elétrico $ E $ a uma distância $ r $ da linha de carga é:
E = lambda2pi varepsilon r

Passo 8

Agora, para encontrar a diferença de potencial $ V $ entre a linha e a superfície do cilindro, usamos a relação entre campo elétrico e potencial:
V
Aqui, $ a $ é o raio da linha (praticamente zero) e $ b $ é o raio do cilindro $ r $. Como o campo elétrico é radial, a integral simplifica para:
V = -integrala^b E cdot dl

Passo 9

Resolvend
o a integral:
V = lambda2pi varepsilon integral0^r 1r' dr' = lambda2pi varepsilon ln(r0)
No entanto, $ \ln(0) $ tende ao infinito, o que indica que o potencial na linha de carga é indefinido. Para evitar isso, consideramos que a linha de carga tem um pequeno raio $ a $, então:
ln(0)

Passo 10

Finalmente, para encontrar a capacitância $ C $, usamos a definição de capacitância:
C
A carga $ Q $ na linha de carga é $ \lambda L $, então:
C = QV

Resposta

A diferença de potencial entre a linha de carga e a superfície do cilindro é:
V = lambda2pi varepsilon ln(ra)
E a capacitância $ C $ do sistema é:
C

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