Considerando as matrizes A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 2 \\\\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right) e b=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right) e o subconjunto do \mathbb{R}^{4}, \alpha=\left\{A^{1}, A^{2}, A^{3}, A^{4}\right\}, em que A^{i} é a coluna i da matriz A, com i=1,2,3,4 :
(a) Determine A^{-1} e calcule simultaneamente o determinante de A.
(b) Resolva o sistema A X=b usando a inversa de A.
(c) Use as contas dos itens anteriores para saber se \alpha é base do \mathbb{R}^{4}. Justifique.
(d) Escreva o vetor b \in \mathbb{R}^{4} como combinação linear de \alpha.

Passo 1

Temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -2 & 0 & 2\\\\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
e o vetor
b = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix}.
O conjunto \alpha=\{A^1,A^2,A^3,A^4\} são as colunas de A.
Conteúdos a usar:
  1. Cálculo de \det(A) por eliminação de Gauss.
  2. Inversa A^{-1} por Gauss–Jordan em [A\mid I].
  3. Resolução de AX=b via A^{-1}b.
  4. Critério de base em \R^4 (det \neq0).
  5. Combinação linear de b nas colunas de A.

Passo 2

Para \det(A) triangularizamos A e contamos trocas de linhas. Após uma troca de L_1\leftrightarrow L_2 e operações de linha que não alteram o determinante, chegamos à forma triangular superior
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 4 & 4\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz é 1\cdot1\cdot4\cdot1=4. Como houve uma troca de linhas,
\det(A) = -4.

Passo 3

Para A^{-1} montamos [A\mid I_4] e aplicamos Gauss–Jordan até [I_4\mid A^{-1}]. O resultado é
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac12 & 0\\\ \tfrac12 & 1 & -\tfrac14 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & -1\\\ \tfrac12 & 1 & \tfrac14 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para resolver AX=b usamos X=A^{-1}b. Calculando
X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac12 & 0\\\ \tfrac12 & 1 & -\tfrac14 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & -1\\\ \tfrac12 & 1 & \tfrac14 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 4\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac12\cdot4\\\\ -\tfrac14\cdot4\\\\ 0\\\ \tfrac14\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Como \det(A)=-4\neq0, A é invertível. Logo suas colunas são linearmente independentes e geram \R^4. Portanto \alpha é base de \R^4.

Passo 6

Em geral AX=b
b = x_1A^1 + x_2A^2 + x_3A^3 + x_4A^4.
Como X=(2,-1,0,1)^T, segue
b = 2\,A^1 - 1\,A^2 + 0\,A^3 + 1\,A^4.

Resposta

(a)
A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & \tfrac12 & 0\\\ \tfrac12 & 1 & -\tfrac14 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & -1\\\ \tfrac12 & 1 & \tfrac14 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det(A) = -4.
(b)
X = A^{-1}b = \begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
(c)
\det(A)\neq0 implica colunas de A independentes e geradoras de \R^4, logo \alpha é base.
(d)
b = 2\,A^1 \;-\;1\,A^2\;+\;0\,A^3\;+\;1\,A^4.

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