Considerando as matrizes A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & -1 \\\\ 0 & -2 & 0 & 2 \\\\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right) e b=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 4 \\\\ 0\end{array}\right) e o subconjunto do \mathbb{R}^{4}, \alpha=\left\{A^{1}, A^{2}, A^{3}, A^{4}\right\}, em que A^{i} é a coluna i da matriz A, com i=1,2,3,4 :
(a) Determine A^{-1} e calcule simultaneamente o determinante de A.
(b) Resolva o sistema A X=b usando a inversa de A.
(c) Use as contas dos itens anteriores para saber se \alpha é base do \mathbb{R}^{4}. Justifique.
(d) Escreva o vetor b \in \mathbb{R}^{4} como combinação linear de \alpha.
O conjunto \alpha=\{A^1,A^2,A^3,A^4\} são as colunas de A.
Conteúdos a usar:
Cálculo de \det(A) por eliminação de Gauss.
Inversa A^{-1} por Gauss–Jordan em [A\mid I].
Resolução de AX=b via A^{-1}b.
Critério de base em \R^4 (det\neq0).
Combinação linear de b nas colunas de A.
Passo 2
Para \det(A) triangularizamos A e contamos trocas de linhas. Após uma troca de L_1\leftrightarrow L_2 e operações de linha que não alteram o determinante, chegamos à forma triangular superior