Dados os seguintes vetores do \mathbb{R}^{4} : v_{1}=(1,-1,2,0), v_{2}=(2,3,0,0), v_{3}=(-1,-3,6,0) e v_{4}=(0,0,0,1) e seja S o subespaço do \mathbb{R}^{4} gerado por v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} :
(a) Mostre que v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} são linearmente dependentes (LD).
(b) Escreva um dos vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} como combinação linear dos outros.
(c) Obtenha uma base para S dentre os vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4}.
(d) Qual é a dimensão de S ?
(e) Mostre que w=(0,0,1,0) não pertence a S.
(f) Complete a base obtida no item (c) para obter uma base do \mathbb{R}^{4}.

Passo 1

Para decidir se v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente dependentes, montamos a combinação
\alpha v_{1}+\beta v_{2}+\gamma v_{3}+\delta v_{4}=0
isto é, em coordenadas:
(\,\alpha+2\beta-\gamma,\,-\alpha+3\beta-3\gamma,\,2\alpha+6\gamma,\,\delta)=(0,0,0,0).

Passo 2

Da quarta componente vem \delta=0.
Da terceira componente vem
2\alpha+6\gamma=0\quad\Longrightarrow\quad\alpha=-3\gamma.
Substituindo em
\alpha+2\beta-\gamma=0 -3\gamma+2\beta-\gamma=0\implies \beta=2\gamma.
Por fim, a segunda componente dá
-\alpha+3\beta-3\gamma = -(-3\gamma)+3(2\gamma)-3\gamma =3\gamma+6\gamma-3\gamma=6\gamma=0
logo \gamma=0. Assim \alpha=\beta=\gamma=\delta=0, ou seja, só há a solução trivial.

Resposta

Os quatro vetores são, na verdade, linearmente independentes; portanto o enunciado que pede para mostrá-los dependentes está incorreto (e, em consequência, as partes seguintes da questão não se sustentam).

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