Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(a) C D

Passo 1

O enunciado pede calcular C D. As matrizes fornecidas são:
C=\begin{bmatrix}2 & 1 & -1\\[4pt]3 & 1 & 0\end{bmatrix},\qquad D=\begin{bmatrix}-1 & 0\\[4pt]3 & 1\\[4pt]0 & 2\end{bmatrix}.
Vou listar os dados importantes:
  • A matriz C é a matriz de tamanho 2\times3.
  • A matriz D é a matriz de tamanho 3\times2.
  • O que se pede é o produto matricial C D.]

Passo 2

Verificar compatibilidade de dimensões e qual será o tamanho do produto.
Regra: se C é m\times n e D é n\times p, então o produto C D está definido e tem dimensão m\times p.
Aqui:
  • C é 2\times3 (ou seja, m=2, n=3).
  • D é 3\times2 (ou seja, n=3, p=2).
Portanto o produto C D está definido e terá dimensão 2\times2. Isso significa que vamos calcular quatro entradas: (C D)_{11}, (C D)_{12}, (C D)_{21}, (C D)_{22}.

Passo 3

Explicar a fórmula do produto e como calcular cada entrada.
Fórmula geral: para C de dimensão m\times n e D de dimensão n\times p,
(C D)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} C_{ik}\,D_{kj},
onde:
  • i indica a linha do produto (vai de 1 a m),
  • j indica a coluna do produto (vai de 1 a p),
  • k percorre as colunas de C (ou as linhas de D), somando os produtos dos elementos correspondentes.
Intuição prática: cada entrada de C D é o produto escalar da linha i de C com a coluna j de D.

Passo 4

Calcular (C D)_{11}: produto da primeira linha de C pela primeira coluna de D.
Usando a fórmula com n=3,
(C D)_{11}=C_{11}D_{11}+C_{12}D_{21}+C_{13}D_{31}.
Substituindo os valores (peguei estes valores das matrizes dadas):
(C D)_{11}=2\cdot(-1)+1\cdot 3+(-1)\cdot 0 = -2+3+0 = 1.

Passo 5

Calcular (C D)_{12}: produto da primeira linha de C pela segunda coluna de D.
(C D)_{12}=C_{11}D_{12}+C_{12}D_{22}+C_{13}D_{32}.
Substituindo:
(C D)_{12}=2\cdot 0 + 1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 = 0+1-2 = -1.

Passo 6

Calcular (C D)_{21}: produto da segunda linha de C pela primeira coluna de D.
(C D)_{21}=C_{21}D_{11}+C_{22}D_{21}+C_{23}D_{31}.
Substituindo:
(C D)_{21}=3\cdot(-1) + 1\cdot 3 + 0\cdot 0 = -3+3+0 = 0.

Passo 7

Calcular (C D)_{22}: produto da segunda linha de C pela segunda coluna de D.
(C D)_{22}=C_{21}D_{12}+C_{22}D_{22}+C_{23}D_{32}.
Substituindo:
(C D)_{22}=3\cdot 0 + 1\cdot 1 + 0\cdot 2 = 0+1+0 = 1.

Resposta

C D=\begin{bmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}]

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