Considerando as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 0 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ 3 & -1 \end{array}\right], \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 1 & 0 \end{array}\right], \quad D=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 3 & 1 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right]
calcule, se possível:
(b) A D

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes (copiadas do texto do problema):
A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\[4pt] 3 & 1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}
A tarefa pedida é calcular, se possível, \,A D.
Informações relevantes dadas:
  • A matriz A tem \;2\; linhas e \;2\; colunas, ou seja, A é 2\times2.
  • A matriz D tem \;3\; linhas e \;2\; colunas, ou seja, D é 3\times2.]

Passo 2

Regra de existência da multiplicação de matrizes (a parte teórica curta e muito prática).
Seja uma matriz X de tamanho m\times n e uma matriz Y de tamanho p\times q. A multiplicação XY está definida se, e somente se, o número de colunas de X for igual ao número de linhas de Y; isto é, se n=p. Quando XY existe, o produto tem tamanho m\times q.
Explicando o porquê em palavras simples: cada entrada (XY)_{ij} é o produto escalar (dot product) da i-ésima linha de X com a j-ésima coluna de Y. Para fazer esse produto escalar, essas duas listas (linha e coluna) precisam ter o mesmo comprimento.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • Para A temos m=2 e n=2 (já que A é 2\times2).
  • Para D temos p=3 e q=2 (já que D é 3\times2).
A condição para A D existir é n=p, ou seja, 2=3. Como isso é falso ( 2\neq3), a multiplicação \,A D não está definida.
Para visualizar o problema concretamente: para calcular a entrada (AD)_{11} seria preciso fazer o produto escalar da primeira linha de A, que tem \;2\; componentes, com a primeira coluna de D, que tem \;3\; componentes. Não dá para fazer um produto escalar entre vetores de comprimentos diferentes — por isso a multiplicação não existe.

Passo 4

Resumo final e dica rápida: sempre cheque as dimensões antes de tentar computar cada entrada. Se o número de colunas da primeira matriz não for igual ao número de linhas da segunda, nem comece a multiplicar — o produto não existe.

Resposta

AD não está definida, pois o número de colunas de A (igual a 2) difere do número de linhas de D (igual a 3).

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