- Considerando as medidas utilizadas na estatística, explique o conceito de:
(b) Mediana
Passo 1
O enunciado pede que eu explique o conceito de mediana. Não há dados numéricos fornecidos no problema; preciso explicar o que é a mediana, como calculá‑la em diferentes situações (amostra com número ímpar ou par de observações, tabelas de frequência e dados agrupados), e apresentar exemplos passo a passo para que você saiba aplicar na prova.
Passo 2
Definição conceitual básica. A mediana é o valor que divide um conjunto de observações ordenadas em duas partes com a mesma quantidade de observações — metade dos valores fica abaixo (ou igual) da mediana e metade fica acima (ou igual). Em termos de percentil, a mediana é o
º percentil. Para uma variável aleatória com função de distribuição
, a mediana
satisfaz
Em palavras: a probabilidade de a variável ser menor ou igual a
é
.
Passo 3
Como proceder com dados não agrupados (lista de observações) — caso
ímpar.
Passo a passo:
Passo a passo:
- Ordene os dados em ordem crescente.
- Se o número de observações
for ímpar, a mediana é o elemento na posição da sequência ordenada.
Exemplo: dados. Primeiro ordena: . Aqui e . A mediana é o º valor, que é . Então a mediana é .
Passo 4
Como proceder com dados não agrupados — caso
par.
Passo a passo:
Passo a passo:
- Ordene os dados.
- Se
for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais, ou seja, dos elementos nas posições e .
Exemplo: dados(já ordenados). Aqui . As posições centrais são e , correspondendo aos valores e . A mediana é
Passo 5
Cálculo da mediana a partir de uma tabela de frequências discretas (valores repetidos).
Passos:
Passos:
- Liste os valores distintos em ordem e suas frequências
. - Calcule a frequência acumulada
. - Encontre
e a posição . - A mediana é o valor associado à classe (ou valor) onde a frequência acumulada atinge ou ultrapassa
. Se for par e cair exatamente entre dois valores, a mediana será a média desses dois valores (mesma ideia do caso não agrupado).
Exemplo: valorescom , com , com . Então , . Frequências acumuladas: depois de temos , depois de temos . O º e o º elementos estão no valor (porque a acumulada passa de para na classe do ). Logo a mediana é .
Passo 6
Cálculo da mediana para dados agrupados em intervalos (interpolação linear). Aqui a mediana costuma ser obtida por aproximação dentro da classe que contém a posição
. Fórmula usada (muito pedida em provas):
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana (aquela que contém a observação de ordem ); -
é o total de observações; -
é a frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências das classes anteriores); -
é a frequência absoluta da classe mediana; -
é a amplitude (largura) da classe (assume-se classes de mesmo comprimento ou usar a amplitude da classe encontrada).
Exemplo numérico: classescom observações, com , com . Então e . A cumulativa antes da segunda classe é , e a segunda classe tem , e . Aplicando:
Logo a mediana aproximada é
.
Passo 7
Propriedades e interpretação intuitiva (como usar na prova).
- A mediana é robusta a valores extremos: um outlier muito grande ou muito pequeno quase não altera a mediana, ao contrário da média aritmética. Ex.: para dados
a média é mas a mediana é , que representa melhor a “posição típica”. - Para distribuições simétricas a mediana coincide com a média; para distribuições assimétricas (skewed) a mediana costuma ficar mais próxima da “coluna” do lado com mais massa.
- A mediana corresponde ao
º percentil — útil quando te pedirem percentis ou medidas de posição. - A mediana não é linear (a mediana de uma soma de conjuntos não é a soma das medianas) — cuidado em questões que envolvem combinações.
Passo 8
Resumo prático (passo a passo que funciona na prova):
- Se tiver a lista inteira de valores: ordene e use
se ímpar ou média dos elementos nas posições e se par. - Se tiver uma tabela de frequências: calcule
e a cumulativa e encontre a posição . - Se for tabela agrupada: identifique a classe mediana (pela cumulativa) e aplique a fórmula de interpolação mostrada no Passo 6.
Dica final: em prova, faça sempre as etapas com calma — ordenar, somar frequências, localizar— e marque claramente qual método você usou para ganhar tempo e evitar erros bobos. Você vai conseguir!
Resposta
A mediana é o valor que divide um conjunto ordenado de observações em duas partes iguais (metade abaixo e metade acima); é o
º percentil, e na prática calcula‑se como o elemento da posição
quando
é ímpar, como a média dos dois valores centrais quando
é par, e por interpolação na classe que contém
para dados agrupados.