1. Considerando as medidas utilizadas na estatística, explique o conceito de:
(b) Mediana

Passo 1

O enunciado pede que eu explique o conceito de mediana. Não há dados numéricos fornecidos no problema; preciso explicar o que é a mediana, como calculá‑la em diferentes situações (amostra com número ímpar ou par de observações, tabelas de frequência e dados agrupados), e apresentar exemplos passo a passo para que você saiba aplicar na prova.

Passo 2

Definição conceitual básica. A mediana é o valor que divide um conjunto de observações ordenadas em duas partes com a mesma quantidade de observações — metade dos valores fica abaixo (ou igual) da mediana e metade fica acima (ou igual). Em termos de percentil, a mediana é o 50º percentil. Para uma variável aleatória com função de distribuição F, a mediana m satisfaz
F(m)=\Pr(X\le m)=0,5.
Em palavras: a probabilidade de a variável ser menor ou igual a m é 50\%.

Passo 3

Como proceder com dados não agrupados (lista de observações) — caso n ímpar.
Passo a passo:
  1. Ordene os dados em ordem crescente.
  2. Se o número de observações n for ímpar, a mediana é o elemento na posição \dfrac{n+1}{2} da sequência ordenada.
    Exemplo: dados \{3,7,12,8,15\}. Primeiro ordena: \{3,7,8,12,15\}. Aqui n=5 e \dfrac{n+1}{2}=\dfrac{6}{2}=3. A mediana é o 3º valor, que é 8. Então a mediana é 8.

Passo 4

Como proceder com dados não agrupados — caso n par.
Passo a passo:
  1. Ordene os dados.
  2. Se n for par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais, ou seja, dos elementos nas posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1.
    Exemplo: dados \{2,4,6,8,10,12\} (já ordenados). Aqui n=6. As posições centrais são \dfrac{6}{2}=3 e 3+1=4, correspondendo aos valores 6 e 8. A mediana é
\text{mediana}=\frac{6+8}{2}=7.

Passo 5

Cálculo da mediana a partir de uma tabela de frequências discretas (valores repetidos).
Passos:
  1. Liste os valores distintos em ordem e suas frequências f_i.
  2. Calcule a frequência acumulada F_i.
  3. Encontre N=\sum f_i e a posição N/2.
  4. A mediana é o valor associado à classe (ou valor) onde a frequência acumulada atinge ou ultrapassa N/2. Se N for par e N/2 cair exatamente entre dois valores, a mediana será a média desses dois valores (mesma ideia do caso não agrupado).
    Exemplo: valores 1 com f=2, 2 com f=3, 3 com f=1. Então N=6, N/2=3. Frequências acumuladas: depois de 1 temos 2, depois de 2 temos 5. O 3º e o 4º elementos estão no valor 2 (porque a acumulada passa de 2 para 5 na classe do 2). Logo a mediana é 2.

Passo 6

Cálculo da mediana para dados agrupados em intervalos (interpolação linear). Aqui a mediana costuma ser obtida por aproximação dentro da classe que contém a posição N/2. Fórmula usada (muito pedida em provas):
M = L + \left(\frac{N/2 - F_b}{f_m}\right)\,w,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana (aquela que contém a observação de ordem N/2);
  • N é o total de observações;
  • F_b é a frequência acumulada antes da classe mediana (soma das frequências das classes anteriores);
  • f_m é a frequência absoluta da classe mediana;
  • w é a amplitude (largura) da classe (assume-se classes de mesmo comprimento ou usar a amplitude da classe encontrada).
    Exemplo numérico: classes 0\!-\!10 com 5 observações, 10\!-\!20 com 8, 20\!-\!30 com 7. Então N=20 e N/2=10. A cumulativa antes da segunda classe é F_b=5, e a segunda classe tem f_m=8, L=10 e w=10. Aplicando:
M = 10 + \left(\frac{10-5}{8}\right)\cdot 10 = 10 + \frac{5}{8}\cdot 10 = 10 + 6,25 = 16,25.
Logo a mediana aproximada é 16,25.

Passo 7

Propriedades e interpretação intuitiva (como usar na prova).
  • A mediana é robusta a valores extremos: um outlier muito grande ou muito pequeno quase não altera a mediana, ao contrário da média aritmética. Ex.: para dados \{1,2,3,1000\} a média é 251,5 mas a mediana é \dfrac{2+3}{2}=2,5, que representa melhor a “posição típica”.
  • Para distribuições simétricas a mediana coincide com a média; para distribuições assimétricas (skewed) a mediana costuma ficar mais próxima da “coluna” do lado com mais massa.
  • A mediana corresponde ao 50º percentil — útil quando te pedirem percentis ou medidas de posição.
  • A mediana não é linear (a mediana de uma soma de conjuntos não é a soma das medianas) — cuidado em questões que envolvem combinações.

Passo 8

Resumo prático (passo a passo que funciona na prova):
  • Se tiver a lista inteira de valores: ordene e use \dfrac{n+1}{2} se n ímpar ou média dos elementos nas posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1 se n par.
  • Se tiver uma tabela de frequências: calcule N e a cumulativa e encontre a posição N/2.
  • Se for tabela agrupada: identifique a classe mediana (pela cumulativa) e aplique a fórmula de interpolação mostrada no Passo 6.
    Dica final: em prova, faça sempre as etapas com calma — ordenar, somar frequências, localizar N/2 — e marque claramente qual método você usou para ganhar tempo e evitar erros bobos. Você vai conseguir!

Resposta

A mediana é o valor que divide um conjunto ordenado de observações em duas partes iguais (metade abaixo e metade acima); é o 50º percentil, e na prática calcula‑se como o elemento da posição \dfrac{n+1}{2} quando n é ímpar, como a média dos dois valores centrais quando n é par, e por interpolação na classe que contém N/2 para dados agrupados.

Exercícios relacionados