1. Considere uma variável aleatória que segue uma distribuịçāo normal, com média \mu=4 e desvio padrāo \sigma=2.
(b) Qual é a probabilidade de que esta variável assuma um número negativo?

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média \mu=4 e desvio padrão \sigma=2. A pergunta (b) é:
Qual é a probabilidade de que essa variável assuma um número negativo? Ou seja, encontrar P(X<0).

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo, sem pular nada). Para variáveis normais é muito comum transformar (padronizar) para a Normal Padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1. A padronização usa a variável
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (aqui com \mu=4 e \sigma=2);
  • \mu é a média (centro da distribuição);
  • \sigma é o desvio padrão (a “escala” da distribuição);
  • Z é a Normal Padrão, ou seja, Z\sim N(0,1).
A motivação: tabelas e calculadoras normalmente dão valores da função de distribuição acumulada da Normal Padrão, denotada por \Phi(z)=P(Z\le z). Então para calcular P(X< a) transformamos a em z com a fórmula acima e consultamos \Phi.
Também vale lembrar uma propriedade importante da Normal Padrão: ela é simétrica em torno de zero, daí
\Phi(-a)=1-\Phi(a)
para a>0. Isso facilita calcular probabilidades para valores negativos de z.

Passo 3

Aplicando a padronização ao ponto a=0 que nos interessa:
z=\frac{0-\mu}{\sigma}=\frac{0-4}{2}.
Calcule devagar:
0-4=-4, \qquad \frac{-4}{2}=-2.
Portanto o valor padronizado é z=-2.

Passo 4

Agora escrevemos a probabilidade pedida em termos da Normal Padrão:
P(X<0)=P\!\left(Z<\frac{0-4}{2}\right)=P(Z<-2)=\Phi(-2).
Usando a simetria da Normal Padrão:
\Phi(-2)=1-\Phi(2).
Agora consultamos uma tabela padrão de \Phi ou uma calculadora: \Phi(2)\approx 0,97725. Então
\Phi(-2)\approx 1-0,97725=0,02275.

Passo 5

Arredondando de forma prática para a prova (duas ou três casas significativas):
P(X<0)\approx 0,0228,
que corresponde a cerca de 2,28\%. Interpretação rápida: numa Normal com média 4 e desvio 2, a chance de obter um valor abaixo de zero é pequena — aproximadamente 2,28\%. Força aí — essa técnica (padronizar e usar \Phi) resolve praticamente todos os problemas de probabilidade para normais.

Resposta

P(X<0)=0,0228\approx 2,28\%

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