- Considere uma variável aleatória que segue uma distribuịçāo normal, com média
e desvio padrāo
.
(b) Qual é a probabilidade de que esta variável assuma um número negativo?
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média
e desvio padrão
. A pergunta (b) é:
Qual é a probabilidade de que essa variável assuma um número negativo? Ou seja, encontrar .
Qual é a probabilidade de que essa variável assuma um número negativo? Ou seja, encontrar
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo a passo, sem pular nada). Para variáveis normais é muito comum transformar (padronizar) para a Normal Padrão, que tem média
e desvio padrão
. A padronização usa a variável
onde:
-
é a variável original (aqui com e ); -
é a média (centro da distribuição); -
é o desvio padrão (a “escala” da distribuição); -
é a Normal Padrão, ou seja, .
A motivação: tabelas e calculadoras normalmente dão valores da função de distribuição acumulada da Normal Padrão, denotada por
. Então para calcular
transformamos
em
com a fórmula acima e consultamos
.
Também vale lembrar uma propriedade importante da Normal Padrão: ela é simétrica em torno de zero, daí
para
. Isso facilita calcular probabilidades para valores negativos de
.
Passo 3
Aplicando a padronização ao ponto
que nos interessa:
Calcule devagar:
Portanto o valor padronizado é
.
Passo 4
Agora escrevemos a probabilidade pedida em termos da Normal Padrão:
Usando a simetria da Normal Padrão:
Agora consultamos uma tabela padrão de
ou uma calculadora:
. Então
Passo 5
Arredondando de forma prática para a prova (duas ou três casas significativas):
que corresponde a cerca de
. Interpretação rápida: numa Normal com média
e desvio
, a chance de obter um valor abaixo de zero é pequena — aproximadamente
. Força aí — essa técnica (padronizar e usar
) resolve praticamente todos os problemas de probabilidade para normais.