1. Considerando as medidas utilizadas na estatística, explique o conceito de:
(c) Skewness

Passo 1

O enunciado pede: explicar o conceito de “Skewness” (assimetria) usado em estatística.
Informações dadas: apenas o pedido de definição/explicação. Não há dados numéricos fornecidos pelo enunciado.

Passo 2

Definição formal (população): a skewness é uma medida da assimetria de uma distribuição de probabilidade em torno da sua média. Formalmente, a skewness populacional é o momento central de terceira ordem padronizado:
\gamma_1=\frac{\mathbb{E}\big[(X-\mu)^3\big]}{\sigma^3},
onde \mu é a média de X, \sigma é o desvio padrão de X e \mathbb{E} é a esperança matemática.
Explicando cada símbolo: \mathbb{E}[(X-\mu)^3] mede a tendência dos desvios da média elevados à terceira potência (captura a direção da assimetria) e a divisão por \sigma^3 torna a medida adimensional, permitindo comparar distribuições em diferentes escalas.

Passo 3

Interpretação intuitiva e sinais:
  • Se \gamma_1=0: a distribuição é simétrica em torno da média (por exemplo, a normal centrada tem \gamma_1=0).
  • Se \gamma_1>0: a cauda direita (valores grandes) é mais longa ou mais pesada → distribuição inclinada para a esquerda visualmente, média tende a ficar maior que a mediana.
  • Se \gamma_1<0: a cauda esquerda (valores pequenos) é mais longa ou mais pesada → distribuição inclinada para a direita visualmente, média tende a ficar menor que a mediana.
    Observação prática útil para prova: comparar média e mediana é um atalho rápido — se \text{média}>\text{mediana}é indica skewness positiva (geralmente).

Passo 4

Estimadores amostrais (como calcular na prática): existem variantes, explico a mais direta e uma versão com correção de viés.
  • Defina os momentos amostrais centrados:
m_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^k.
Aqui \bar{x} é a média amostral e n o tamanho da amostra.
  • Estimador simples (momento central padronizado):
g_1=\frac{m_3}{m_2^{3/2}}.
Esse g_1 é direto: calcula-se m_2 (variância populacional amostral com divisor n), tira-se a raiz para obter s=m_2^{1/2} e eleva-se ao cubo, depois divide-se m_3 por s^3.
  • Correção usuais (reduz o viés para amostras pequenas): uma forma comum é o estimador de Fisher–Pearson
G_1=\frac{\sqrt{n(n-1)}}{n-2}\;g_1,
válido quando n>2. Em testes e softwares pode aparecer ainda outra forma que usa divisor n-1 para m_2; por isso atenção às fórmulas pedidas na prova.

Passo 5

Passo a passo prático para calcular numa amostra (resumo que pode decorar para a prova):
  1. Calcule \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i.
  2. Calcule os desvios (x_i-\bar{x}).
  3. Calcule m_2=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2 e m_3=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^3.
  4. Calcule g_1=\dfrac{m_3}{m_2^{3/2}}. (Se quiser reduzir viés use G_1 acima.)
    Esse procedimento dá um número adimensional que diz o sentido e a intensidade da assimetria.

Passo 6

Exemplo numérico passo a passo (para fixar): amostra \{1,2,3,4,9\}.
  1. n=5.
  2. \bar{x}=\dfrac{1+2+3+4+9}{5}=\dfrac{19}{5}=3,8.
  3. Desvios: -2,8, -1,8, -0,8, 0,2, 5,2.
  4. Quadrados (soma) = 38,8 m_2=\dfrac{38,8}{5}=7,76.
  5. Cúbicos (soma) = 112,32 m_3=\dfrac{112,32}{5}=22,464.
  6. m_2^{3/2}=(7,76)^{3/2}\approx21,58.
  7. g_1=\dfrac{22,464}{21,58}\approx1,04.
    Interpretação: skewness positiva e relativamente forte (cauda direita longa). Observação rápida: média 3,8 maior que mediana 3, consistente com skewness positiva.

Passo 7

Propriedades, limitações e dicas para prova:
  • Invariância à mudança de escala e tradução: \gamma_1 não muda se somar uma constante ou multiplicar por constante positiva; portanto compara-se distribuições em escalas diferentes.
  • Sensível a outliers: um único valor extremo pode alterar muito a skewness; cuidado ao interpretar sem olhar o gráfico (histograma/boxplot).
  • Uso prático: serve para descrever forma da distribuição, para decidir transformações (ex.: transformações log podem reduzir skewness à direita) e para verificar suposições de normalidade (normal tem \gamma_1=0).
  • Em provas: ao pedir “explique skewness”, dê a definição com a fórmula do momento central padronizado, explique o sinal e interprete com exemplo (média vs mediana) — isso costuma garantir os pontos.

Resposta

Skewness é a medida da assimetria de uma distribuição em torno da sua média, definida pela terceira momento central padronizado \gamma_1=\dfrac{\mathbb{E}[(X-\mu)^3]}{\sigma^3}; na prática usa-se o estimador amostral g_1=\dfrac{m_3}{m_2^{3/2}}. Se \gamma_1>0 a cauda direita é mais pesada (assimetria positiva), se \gamma_1<0 a cauda esquerda é mais pesada (assimetria negativa), e \gamma_1=0 indica simetria.

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