- Considerando as medidas utilizadas na estatística, explique o conceito de:
(c) Skewness
Passo 1
O enunciado pede: explicar o conceito de “Skewness” (assimetria) usado em estatística.
Informações dadas: apenas o pedido de definição/explicação. Não há dados numéricos fornecidos pelo enunciado.
Informações dadas: apenas o pedido de definição/explicação. Não há dados numéricos fornecidos pelo enunciado.
Passo 2
Definição formal (população): a skewness é uma medida da assimetria de uma distribuição de probabilidade em torno da sua média. Formalmente, a skewness populacional é o momento central de terceira ordem padronizado:
onde
é a média de
,
é o desvio padrão de
e
é a esperança matemática.
Explicando cada símbolo: mede a tendência dos desvios da média elevados à terceira potência (captura a direção da assimetria) e a divisão por
torna a medida adimensional, permitindo comparar distribuições em diferentes escalas.
Explicando cada símbolo:
Passo 3
Interpretação intuitiva e sinais:
- Se
: a distribuição é simétrica em torno da média (por exemplo, a normal centrada tem ). - Se
: a cauda direita (valores grandes) é mais longa ou mais pesada → distribuição inclinada para a esquerda visualmente, média tende a ficar maior que a mediana. - Se
: a cauda esquerda (valores pequenos) é mais longa ou mais pesada → distribuição inclinada para a direita visualmente, média tende a ficar menor que a mediana.
Observação prática útil para prova: comparar média e mediana é um atalho rápido — seindica skewness positiva (geralmente).
Passo 4
Estimadores amostrais (como calcular na prática): existem variantes, explico a mais direta e uma versão com correção de viés.
- Defina os momentos amostrais centrados:
Aqui
é a média amostral e
o tamanho da amostra.
- Estimador simples (momento central padronizado):
Esse
é direto: calcula-se
(variância populacional amostral com divisor
), tira-se a raiz para obter
e eleva-se ao cubo, depois divide-se
por
.
- Correção usuais (reduz o viés para amostras pequenas): uma forma comum é o estimador de Fisher–Pearson
válido quando
. Em testes e softwares pode aparecer ainda outra forma que usa divisor
para
; por isso atenção às fórmulas pedidas na prova.
Passo 5
Passo a passo prático para calcular numa amostra (resumo que pode decorar para a prova):
- Calcule
. - Calcule os desvios
. - Calcule
e . - Calcule
. (Se quiser reduzir viés use acima.)
Esse procedimento dá um número adimensional que diz o sentido e a intensidade da assimetria.
Passo 6
Exemplo numérico passo a passo (para fixar): amostra
.
-
. -
- Desvios:
. - Quadrados (soma) =
→ . - Cúbicos (soma) =
→ . -
. -
.
Interpretação: skewness positiva e relativamente forte (cauda direita longa). Observação rápida: médiamaior que mediana , consistente com skewness positiva.
Passo 7
Propriedades, limitações e dicas para prova:
- Invariância à mudança de escala e tradução:
não muda se somar uma constante ou multiplicar por constante positiva; portanto compara-se distribuições em escalas diferentes. - Sensível a outliers: um único valor extremo pode alterar muito a skewness; cuidado ao interpretar sem olhar o gráfico (histograma/boxplot).
- Uso prático: serve para descrever forma da distribuição, para decidir transformações (ex.: transformações log podem reduzir skewness à direita) e para verificar suposições de normalidade (normal tem
). - Em provas: ao pedir “explique skewness”, dê a definição com a fórmula do momento central padronizado, explique o sinal e interprete com exemplo (média vs mediana) — isso costuma garantir os pontos.
Resposta
Skewness é a medida da assimetria de uma distribuição em torno da sua média, definida pela terceira momento central padronizado
; na prática usa-se o estimador amostral
. Se
a cauda direita é mais pesada (assimetria positiva), se
a cauda esquerda é mais pesada (assimetria negativa), e
indica simetria.