Considerando o método de Newton para raízes de funções e o polinômio P(x)=-x^4-3 x^3+5 x^2-4 x+4, é correto afirmar:
a. Fazendo x0=-5, em 5 iterações obtém-se x5=-4,39273, que é uma aproximação para a segunda menor raiz negativa, com precisão de 10^-5.
b. Fazendo x0=0, em 5 iterações, obtém-se x5=1,12038 que é uma aproximação para a menor raiz com precisão de 10^-5.
c. Fazendo x0=0, em 5 iterações, obtém-se x5=1,12038 que é uma aproximação para a maior raiz, com precisão de 10^-5.
d. Com o método de Newton podemos encontrar aproximações para todas as 4 raízes reais distintas.
e. Fazendo x0=-5, em 5 iterações obtém-se x5=-4,93273, que é uma aproximação para a menor raiz, com precisão de 10^-5.

Passo 1

Então, o enunciado pede que a gente use o método de Newton para aproximar raízes do polinômio
P(x)=-x^4 - 3x^3 + 5x^2 -4x +4
e depois veja qual das alternativas (a) a (e) está certinha.
Conteúdo envolvido: método de Newton para achar raízes (iterações) e derivadas de polinômios.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula do método de Newton
  2. A derivada
  3. Fazer umas iterações e comparar com as afirmações.

Passo 2

Primeiro, anota a derivada de P'(x) = -4x^3 ;-;9x^2;+;10x;-;4 :
xn+1 ;=; xn ;-;P(xn)P'(xn)
O método de Newton é
Vamos com (opção a e e) e ver o que dá em 5 iterações (não pulo passo, mas resumo):
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
Então, de fato, depois de 5 iterações dá algo como .

Passo 3

Agora, com (alíneas b e c), repetindo 5 iterações:
-
-
-
-
- (aproximação típica)
Ou seja, em 5 passos chega em torno de .

Passo 4

Quais são as raízes reais de ?
Fazendo análise de sinais, dá só duas raízes reais:
  1. uma negativa em
  2. uma positiva em
    As outras duas são complexas.
    Logo:
    - Não tem “segunda menor raiz negativa” (só há uma negativa), logo (a) tá fora.
    - Não dá pra extrair 4 raízes reais (d) sai fora.
    - A aproximação em corresponde à raiz positiva, que é a maior raiz real (não a menor).
    - e) erra o valor de e ainda confunde qual raiz é.

Resposta

A opção correta é a letra c.

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