Considerando o método de Newton para raízes de funções e o polinômio
, é correto afirmar:
a. Fazendo
, em 5 iterações obtém-se
, que é uma aproximação para a segunda menor raiz negativa, com precisão de
.
b. Fazendo
, em 5 iterações, obtém-se
que é uma aproximação para a menor raiz com precisão de
.
c. Fazendo
, em 5 iterações, obtém-se
que é uma aproximação para a maior raiz, com precisão de
.
d. Com o método de Newton podemos encontrar aproximações para todas as 4 raízes reais distintas.
e. Fazendo
, em 5 iterações obtém-se
, que é uma aproximação para a menor raiz, com precisão de
.
a. Fazendo
b. Fazendo
c. Fazendo
d. Com o método de Newton podemos encontrar aproximações para todas as 4 raízes reais distintas.
e. Fazendo
Passo 1
Então, o enunciado pede que a gente use o método de Newton para aproximar raízes do polinômio
e depois veja qual das alternativas (a) a (e) está certinha.
Conteúdo envolvido: método de Newton para achar raízes (iterações) e derivadas de polinômios.
O que vamos precisar:
Conteúdo envolvido: método de Newton para achar raízes (iterações) e derivadas de polinômios.
O que vamos precisar:
- A fórmula do método de Newton
- A derivada
- Fazer umas iterações e comparar com as afirmações.
Passo 2
Primeiro, anota a derivada de
:
O método de Newton é
Vamos com
(opção a e e) e ver o que dá em 5 iterações (não pulo passo, mas resumo):
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
Então, de fato, depois de 5 iterações dá algo como .
- Iteração 1:
- Iteração 2:
- Iteração 3:
- Iteração 4:
- Iteração 5:
Então, de fato, depois de 5 iterações dá algo como
Passo 3
Agora, com
(alíneas b e c), repetindo 5 iterações:
-
-
-
-
- (aproximação típica)
Ou seja, em 5 passos chega em torno de .
-
-
-
-
-
Ou seja, em 5 passos chega em torno de
Passo 4
Quais são as raízes reais de
?
Fazendo análise de sinais, dá só duas raízes reais:
Fazendo análise de sinais, dá só duas raízes reais:
- uma negativa em
- uma positiva em
As outras duas são complexas.
Logo:
- Não tem “segunda menor raiz negativa” (só há uma negativa), logo (a) tá fora.
- Não dá pra extrair 4 raízes reais (d) sai fora.
- A aproximação emcorresponde à raiz positiva, que é a maior raiz real (não a menor).
- e) erra o valor dee ainda confunde qual raiz é.
Resposta
A opção correta é a letra c.