Exercícios programação:

A fórmula de Leibniz para o número pi é dada pela série infinita
pi4=sumn=0^infty (-1)^n2 n+1 Use o computador para obter uma aproximação çã
para pi usando exatamente os 50 primeiros termos da série. O valor obtido e o erro relativo são, respectivamente:

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar o número π usando os 50 primeiros termos da série de Leibniz, que diz
pi4 ;=;sumn=0^infty(-1)^n2n+1
Conteúdo da matéria: séries infinitas, em especial séries alternadas (série de Leibniz) e cálculo de erro relativo.
O que vamos precisar:
  1. Entender como montar a soma parcial até 50 termos.
  2. Saber multiplicar a soma parcial por 4 para obter π aproximado.
  3. Calcular o erro relativo

Passo 2

Teoria da série de Leibniz:
  • É uma série alternada, ou seja, os sinais vão trocando de positivo para negativo.
  • Cada termo é dado por .
  • A soma infinita converge lentamente a .
  • Para aproximar numericamente, a gente soma só os N primeiros termos (soma parcial).

Passo 3

Definimos a soma parcial até S50 ;=; sumn=0^49(-1)^n2n+1 (50 termos) como
pi50 ;=; 4,S50
A aproximação de π é então

Passo 4

Cálculo prático (usando computador ou calculadora):
  1. Inicializa .
  2. Para cada de 0 a 49, faz .
  3. Ao final, define .

Passo 5

Fazendo esse cálculo, obtém-se
S50approx 0.78039866 Longrightarrow pi50=4,S50approx 3.12159465

Passo 6

Erro relativo:
varepsilonrm rel =l|pirm real-pi50r|pirm real =|3.14159265,-,3.12159465|3.14159265 approx0.00636

Resposta

Valor aproximado de π com 50 termos: 3.12159465
Erro relativo: 0.00636

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