Exercícios programação:
A fórmula de Leibniz para o número
é dada pela série infinita
para
usando exatamente os 50 primeiros termos da série. O valor obtido e o erro relativo são, respectivamente:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos aproximar o número π usando os 50 primeiros termos da série de Leibniz, que diz
Conteúdo da matéria: séries infinitas, em especial séries alternadas (série de Leibniz) e cálculo de erro relativo.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender como montar a soma parcial até 50 termos.
- Saber multiplicar a soma parcial por 4 para obter π aproximado.
- Calcular o erro relativo
Passo 2
Teoria da série de Leibniz:
- É uma série alternada, ou seja, os sinais vão trocando de positivo para negativo.
- Cada termo é dado por
. - A soma infinita converge lentamente a
. - Para aproximar numericamente, a gente soma só os N primeiros termos (soma parcial).
Passo 3
Definimos a soma parcial até
(50 termos) como
A aproximação de π é então
Passo 4
Cálculo prático (usando computador ou calculadora):
- Inicializa
. - Para cada
de 0 a 49, faz . - Ao final, define
.
Passo 5
Fazendo esse cálculo, obtém-se
Passo 6
Erro relativo:
Resposta
Valor aproximado de π com 50 termos: 3.12159465
Erro relativo: 0.00636
Erro relativo: 0.00636