2 Considerando-se o modelo de gás de elétrons livres, determine o comprimento de onda de Fermi, a velocidade de Fermi e o livre caminho médio para o sódio e para o alumínio em regime de volume (3D).

Passo 1

A questão pede, no modelo de gás de elétrons livres, o comprimento de onda de Fermi ( lambdaF), a velocidade de Fermi ( vF) e o caminho livre médio ( ell) para sódio e alumínio em 3D. Vamos precisar da densidade de elétrons de condução ( n), da resistividade elétrica ( rho) e das fórmulas do gás de elétrons livres.

Passo 2

Calculamos a densidade de elétrons de condução usando n = z,rhomMNA, onde z é o número de elétrons livres por átomo, rhom a densidade de massa, M a massa molar e NA a constante de Avogadro. Para sódio ( z=1, rhom=970 kg/m^3, M=0.02299 kg/mol) e alumínio ( z=3, rhom=2700 kg/m^3, M=0.02698 kg/mol) obtemos
nrm Na=1times9700.02299times6.022times10^23approx2.54times10^28 m^-3,
nrm Al=3times27000.02698times6.022times10^23approx1.81times10^29 m^-3

Passo 3

Com n em mãos, o vetor de onda de Fermi é kF = (3pi^2 n)^1/3 e o comprimento de onda de Fermi é lambdaF = 2pi/kF. Calculamos
kF,rm Na=(3pi^2,2.54times10^28)^1/3approx9.1times10^9 m^-1, lambdaF,rm Na=2pi9.1times10^9approx6.9times10^-10 m,
kF,rm Al=(3pi^2,1.81times10^29)^1/3approx1.76times10^10 m^-1, lambdaF,rm Al=2pi1.76times10^10approx3.6times10^-10 m

Passo 4

A velocidade de Fermi é dada por vF=hbar kF/me, com hbar=1.055times10^-34 J,s e me=9.11times10^-31 kg:
vF,rm Na=1.055times10^-34times9.1times10^99.11times10^-31approx1.05times10^6 m/s,
vF,rm Al=1.055times10^-34times1.76times10^109.11times10^-31approx2.03times10^6 m/s

Passo 5

Para o caminho livre médio usamos a relação sigma=ne^2tau/me e ell=vFtau, com sigma=1/rho. Assim
tau=men e^2rho, ell=vFtau

Passo 6

Usando resistividades típicas à temperatura ambiente ( rhorm Naapprox4.0times10^-8 Omega,m, rhorm Alapprox2.65times10^-8 Omega,m) temos
taurm Na=9.11times10^-31(2.54times10^28)(1.602times10^-19)^2(4.0times10^-8)approx3.5times10^-14 s,
ellrm Na=1.05times10^6times3.5times10^-14approx3.7times10^-8 m,
taurm Al =9.11times10^-31(1.81times10^29)(1.602times10^-19)^2(2.65times10^-8)approx7.4times10^-15 s,
ellrm Al=2.03times10^6times7.4times10^-15approx1.5times10^-8 m

Resposta

Para sódio: lambdaFapprox0.69 nm, vFapprox1.05times10^6 m/s, ellapprox37 nm Para alumínio: lambdaFapprox0.36 nm, vFapprox2.03times10^6 m/s, ellapprox15 nm

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