Considerando o modelo do Oscilador Harmônico, para as diatômicas listadas, calcule:
O número de onda (
) para a transição vibracional direta entre os níveis
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o número de onda (𝑣̃) para uma transição vibracional direta entre os níveis $ v = 1 $ e $ v = 3 $ no modelo do Oscilador Harmônico para moléculas diatômicas. Basicamente, vamos usar conceitos de física sobre vibrações moleculares e energia nos níveis vibracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a energia nos níveis vibracionais de um oscilador harmônico. A energia $ E_v $ de um nível vibracional $ v $ é dada por:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ \omega $ é a frequência angular da vibração.
Passo 3
A transição que queremos analisar é de $ v = 1 $ para $ v = 3 $. Para achar o número de onda $ \tilde{v} $, precisamos calcular a diferença de energia entre esses dois níveis:
Vamos substituir as fórmulas de energia:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Então, a diferença de energia entre os níveis $ v = 1 $ e $ v = 3 $ é $ 2 \hbar \omega $.
Passo 5
Sabemos que a energia da transição está relacionada ao número de onda pela equação:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck,
- $ c $ é a velocidade da luz,
- $ \tilde{v} $ é o número de onda que queremos encontrar.
Passo 6
Vamos igualar as duas expressões para $ \Delta E $:
Lembrando que $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $, podemos substituir:
Passo 7
Simplificando a equação:
Agora, podemos cancelar o $ h $ dos dois lados:
Passo 8
Isolando $ \tilde{v} $:
Então, o número de onda para a transição vibracional de $ v = 1 $ para $ v = 3 $ é:
Resposta
O número de onda $ \tilde{v} $ para a transição vibracional direta de $ v = 1 $ para $ v = 3 $ é dado por: