Considerando o modelo do Oscilador Harmônico, para as diatômicas listadas, calcule:
(4,0) O número de onda ( tildev ) para a transição vibracional direta entre os níveis v=1 v=3 ;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa calcular o número de onda (𝑣̃) para uma transição vibracional direta entre os níveis $ v = 1 $ e $ v = 3 $ no modelo do Oscilador Harmônico para moléculas diatômicas. Basicamente, vamos usar conceitos de física sobre vibrações moleculares e energia nos níveis vibracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a energia nos níveis vibracionais de um oscilador harmônico. A energia $ E_v $ de um nível vibracional $ v $ é dada por:
Ev
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ \omega $ é a frequência angular da vibração.

Passo 3

A transição que queremos analisar é de $ v = 1 $ para $ v = 3 $. Para achar o número de onda $ \tilde{v} $, precisamos calcular a diferença de energia entre esses dois níveis:
v = 1
Vamos substituir as fórmulas de energia:
v = 3

Passo 4

Simplificando a expressão:
De
Então, a diferença de energia entre os níveis $ v = 1 $ e $ v = 3 $ é $ 2 \hbar \omega $.

Passo 5

Sabemos que a energia da transição está relacionada ao número de onda pela equação:
De
Onde:
  • $ h $ é a constante de Planck,
  • $ c $ é a velocidade da luz,
  • $ \tilde{v} $ é o número de onda que queremos encontrar.

Passo 6

Vamos igualar as duas expressões para $ \Delta E $:
De
Lembrando que $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $, podemos substituir:
2 hbar omega = h c tildev

Passo 7

Simplificando a equação:
h omegapi = h c tildev
Agora, podemos cancelar o $ h $ dos dois lados:
h

Passo 8

Isolando $ \tilde{v} $:
tildev
Então, o número de onda para a transição vibracional de $ v = 1 $ para $ v = 3 $ é:
tildev = omegapi c

Resposta

O número de onda $ \tilde{v} $ para a transição vibracional direta de $ v = 1 $ para $ v = 3 $ é dado por:
tildev

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