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3. ( 8 , 0 ) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento L=10,00 nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo (Psin(x) ).
a) (4,0) Considerando o estado n=1, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm?
b) (4,0) Essa função é autofunção dos operadores x d^2d x^2 e dd x ? Demonstre.
Psin(x)=raiz2L sen n piL x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica que fala sobre um elétron preso numa caixa unidimensional com comprimento $ L = 10,00 $ nm. A função de onda desse elétron está dada por:
L = 10,00
Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo específico e verificar se essa função de onda é uma autofunção de determinados operadores matemáticos.

Passo 2

Parte a): Queremos encontrar a probabilidade de localizar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm no estado $ n = 1 $.
Primeiro, vamos entender que a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo n = 1 é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
[a, b]
Substituindo os valores:
P(a <= x <= b) = integrala^b |Psin(x)|^2 , dx
Simplificando:
Psi1(x) = raiz210,00, nm sin(pi10,00, nm x)
Agora, calculamos $ |\Psi_{1}(x)|^2 $:
Psi1(x) = raiz15,00, nm sin(pi x10,00, nm)
Agora, plugamos na integral:
|Psi1(x)|^2
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
|Psi1(x)|^2 = (raiz15,00, nm)^2 sin^2(pi x10,00, nm) = 15,00, nm sin^2(pi x10,00, nm)
Aplicando isso:
P(4,99, nm <= x <= 5,01, nm) = integral4,99^5,01 15,00 sin^2(pi x10,00) dx
Agora, avaliamos de 4,99 nm a 5,01 nm:
sin^2(theta) = 1 - cos(2theta)2
Calculando os valores numéricos:
Primeiro, convertendo nm para unidades consistentes (já que os limites estão próximos e a função seno varia lentamente nesse intervalo):
integral sin^2(pi x10,00) dx = integral 1 - cos(2pi x10,00)2 dx = x2 - 10,004pi sin(2pi x10,00) + C
P = 15,00 [ (5,012 - 10,004pi sin(2pi times 5,0110,00)) - (4,992 - 10,004pi sin(2pi times 4,9910,00)) ]
Como $ \sin(\pi \times 1) = 0 $ e para pequenos desvios,
P approx 15,00 [ 5,01 - 4,992 - 10,004pi ( sin(2pi times 5,0110,00) - sin(2pi times 4,9910,00) ) ]
e
P approx 15,00 [ 0,022 - 10,004pi ( sin(pi times 1.002) - sin(pi times 0.998) ) ]
Portanto, a diferença é aproximadamente zero, então:
sin(pi times 1) = 0
Convertendo para porcentagem:
sin(pi times 1.002) approx sin(pi) + 0.002pi cos(pi) = 0 - 0.002pi (-1) = 0.002pi

Passo 3

Parte b): Queremos verificar se a função de onda $ \Psi_{n}(x) $ é uma autofunção dos operadores $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $ e $ \frac{d}{dx} $.
Uma função $ \Psi(x) $ é uma autofunção de um operador $ \hat{O} $ se, ao aplicar $ \hat{O} $ em $ \Psi(x) $, o resultado for um múltiplo escalar de $ \Psi(x) $:
Psin(x)
Vamos verificar para cada operador.
1. Operador $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \Psi_{n}(x) $:
x d^2dx^2
Primeira derivada:
ddx
Segunda derivada:
Psi(x)
Agora aplicamos o operador $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $:
O
Comparando com $ \lambda \Psi_{n}(x) $, vemos que temos um fator adicional de $ x $. Portanto, não é apenas um múltiplo escalar de $ \Psi_{n}(x) $, mas depende de $ x $. Logo, $ \Psi_{n}(x) $ não é uma autofunção desse operador.
2. Operador $ \frac{d}{dx} $:
Calculamos a derivada de $ \Psi_{n}(x) $:
O
Para ser uma autofunção, deveria ser igual a $ \lambda \Psi_{n}(x) $. Mas $ \cos\left(\frac{n \pi}{L} x\right) $ não é proporcional a $ \sin\left(\frac{n \pi}{L} x\right) $, a menos que $ \lambda = 0 $, o que não é o caso aqui. Portanto, $ \Psi_{n}(x) $ não é uma autofunção desse operador.

Resposta

a) A probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm no estado $ n = 1 $ é aproximadamente $ 0,2% $.
b) A função de onda $ \Psi_{n}(x) $ não é uma autofunção dos operadores $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $ e $ \frac{d}{dx} $.

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