Nome:
Data:
3.
) Considere um elétron em uma caixa unidimensional de comprimento
nm . Esse elétron é representado pela função de onda normalizada abaixo
).
a)
Considerando o estado
, qual a probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm?
b)
Essa função é autofunção dos operadores
e
? Demonstre.
Data:
3.
a)
b)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica que fala sobre um elétron preso numa caixa unidimensional com comprimento $ L = 10,00 $ nm. A função de onda desse elétron está dada por:
Vamos precisar entender como calcular a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo específico e verificar se essa função de onda é uma autofunção de determinados operadores matemáticos.
Passo 2
Parte a): Queremos encontrar a probabilidade de localizar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm no estado $ n = 1 $.
Primeiro, vamos entender que a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo
é dada pela integral do quadrado da função de onda nesse intervalo:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Agora, calculamos $ |\Psi_{1}(x)|^2 $:
Agora, plugamos na integral:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Agora, avaliamos de 4,99 nm a 5,01 nm:
Calculando os valores numéricos:
Primeiro, convertendo nm para unidades consistentes (já que os limites estão próximos e a função seno varia lentamente nesse intervalo):
Como $ \sin(\pi \times 1) = 0 $ e para pequenos desvios,
e
Portanto, a diferença é aproximadamente zero, então:
Convertendo para porcentagem:
Passo 3
Parte b): Queremos verificar se a função de onda $ \Psi_{n}(x) $ é uma autofunção dos operadores $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $ e $ \frac{d}{dx} $.
Uma função $ \Psi(x) $ é uma autofunção de um operador $ \hat{O} $ se, ao aplicar $ \hat{O} $ em $ \Psi(x) $, o resultado for um múltiplo escalar de $ \Psi(x) $:
Vamos verificar para cada operador.
1. Operador $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de $ \Psi_{n}(x) $:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora aplicamos o operador $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $:
Comparando com $ \lambda \Psi_{n}(x) $, vemos que temos um fator adicional de $ x $. Portanto, não é apenas um múltiplo escalar de $ \Psi_{n}(x) $, mas depende de $ x $. Logo, $ \Psi_{n}(x) $ não é uma autofunção desse operador.
2. Operador $ \frac{d}{dx} $:
Calculamos a derivada de $ \Psi_{n}(x) $:
Para ser uma autofunção, deveria ser igual a $ \lambda \Psi_{n}(x) $. Mas $ \cos\left(\frac{n \pi}{L} x\right) $ não é proporcional a $ \sin\left(\frac{n \pi}{L} x\right) $, a menos que $ \lambda = 0 $, o que não é o caso aqui. Portanto, $ \Psi_{n}(x) $ não é uma autofunção desse operador.
Resposta
a) A probabilidade de encontrar o elétron entre 4,99 nm e 5,01 nm no estado $ n = 1 $ é aproximadamente $ 0,2% $.
b) A função de onda $ \Psi_{n}(x) $ não é uma autofunção dos operadores $ x \frac{d{2}}{dx{2}} $ e $ \frac{d}{dx} $.