Considerando 1 mol de gás monoatômico ideal esboce o diagrama PV; calcule a Variação de Energia interna, o Trabalho, e o Calor para cada um dos processos a seguir:
Utilize \mathrm{R}=0,1 \mathrm{atmL} / \mathrm{molK} ou \mathrm{R}=10 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}
Volume constante de 1 L , com pressão inicial de 5 atm e pressão final de 10 atm .

Passo 1

O enunciado dá:
n=1\\ \text{mol},\qquad V=1\\ \text{L (constante)},\qquad p_i=5\\ \text{atm},\qquad p_f=10\\ \text{atm}
Pede:
  • Esboçar o diagrama P\!V.
  • Calcular a variação da energia interna \Delta U, o trabalho W e o calor Q para o processo isócrono (volume constante).
Outras informações fornecidas (para usar nas contas):
R=0{,}1\\ \text{atm·L·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}\quad\text{ou}\quad R=10\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}.
Não inicio resolução aqui; só listei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Esboço do diagrama P\!V (descrição para você imaginar ou desenhar na prova):
  • Como o volume é constante em V=1\\ \text{L}, o processo é uma linha vertical no diagrama P\!V.
  • A linha vertical vai de (V=1\\ \text{L},\;p=5\\ \text{atm}) até (V=1\\ \text{L},\;p=10\\ \text{atm}).
    Ou seja: uma reta vertical para cima em V=1\\ \text{L}, indicando aumento de pressão.

Passo 3

Primeiro conceito importante: equação dos gases ideais.
pV=nRT.
Aqui \;p é a pressão, \;V o volume, \;n o número de mols, \;R a constante dos gases (usar a unidade consistente!) e \;T a temperatura em kelvin. Vamos usá-la para achar a variação de temperatura entre os estados inicial e final, porque \Delta U para gás ideal monoatômico depende de \Delta T.
Usando as unidades naturais para R=0{,}1\\ \text{atm·L·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} (pressão em atm, volume em L):
T_i=\frac{p_iV}{nR}=\frac{5\cdot 1}{1\cdot 0{,}1}=50\\ \text{K},
T_f=\frac{p_fV}{nR}=\frac{10\cdot 1}{1\cdot 0{,}1}=100\\ \text{K},
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\Delta T=T_f-T_i=100-50=50\\ \text{K}.
Observação de consistência: se você preferir trabalhar em SI com R=10\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} deve converter p para pascal e V para \text{m}^3. Fazendo isso:
p_i=5\\ \text{atm}=5\cdot101325\\ \text{Pa}=506625\\ \text{Pa},
V=1\\ \text{L}=0{,}001\\ \text{m}^3,
T_i=\frac{p_iV}{nR}=\frac{506625\cdot0{,}001}{1\cdot10}=50{,}6625\\ \text{K},
e o T_f correspondente fica o dobro, resultando em \Delta T\approx50{,}6625\\ \text{K}. Usarei ambos os caminhos (unidades atm·L e SI) para mostrar que os resultados em joules coincidem quando a consistência é mantida.

Passo 4

Agora a energia interna de um gás ideal monoatômico: fórmula e porquê.
  • Para um gás monoatômico o grau de liberdade translacional é 3, e a energia interna por mol vale
U=\frac{3}{2}nRT.
Significado: \frac{3}{2}R é a capacidade calorífica molar a volume constante c_v do gás monoatômico. Assim, a variação de energia interna é
\Delta U=n c_v \Delta T = n\left(\frac{3}{2}R\right)\Delta T.
Vamos calcular \Delta U usando primeiro R=0{,}1\\ \text{atm·L·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} (unidades compatíveis com p em atm e V em L):
c_v=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot0{,}1=0{,}15\\ \text{atm·L·mol}^{-1}\text{·K}^{-1},
\Delta U = n c_v \Delta T = 1\cdot0{,}15\cdot50=7{,}5\\ \text{atm·L}.
Se quiser o valor em joules: usamos 1\\ \text{atm·L}=101{,}325\\ \text{J}, então
\Delta U=7{,}5\cdot101{,}325=759{,}9375\\ \text{J}\approx759{,}94\\ \text{J}.

Passo 5

Cálculo consistente em SI usando R=10\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1} (para checar):
  • Conforme feito no Passo 3, \Delta T\approx50{,}6625\\ \text{K}.
  • Tem-se c_v=\dfrac{3}{2}R=\dfrac{3}{2}\cdot10=15\\ \text{J·mol}^{-1}\text{·K}^{-1}.
\Delta U = n c_v \Delta T = 1\cdot15\cdot50{,}6625=759{,}9375\\ \text{J},
que coincide com a conversão do valor em \text{atm·L} mostrada antes (diferenças pequenas surgem se você aproximar R de formas diferentes).

Passo 6

Trabalho do gás no processo isócrono:
Definição de trabalho (convenção usada aqui): o trabalho realizado pelo gás sobre o ambiente é
W=\int_{V_i}^{V_f} p\,dV.
Como V é constante ( V_i=V_f=1\\ \text{L}), temos dV=0 e portanto
W=0.
Em unidades: W=0\\ \text{atm·L}=0\\ \text{J}.

Passo 7

Aplicando a Primeira Lei da Termodinâmica:
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor fornecido ao sistema e W o trabalho realizado pelo sistema. Rearranjando,
Q=\Delta U + W.
Como W=0, segue imediatamente que
Q=\Delta U.
Portanto o calor trocado é igual à variação da energia interna que calculamos.

Resposta

\Delta U = 7{,}5\\ \text{atm·L} = 759{,}94\\ \text{J}
W = 0\\ \text{atm·L} = 0\\ \text{J}
Q = 7{,}5\\ \text{atm·L} = 759{,}94\\ \text{J}

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