Considerando 1 mol de gás monoatômico ideal esboce o diagrama PV; calcule a Variação de Energia interna, o Trabalho, e o Calor para cada um dos processos a seguir:
Utilize \mathrm{R}=0,1 \mathrm{atmL} / \mathrm{molK} ou \mathrm{R}=10 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}
Pressão constante de 1000 Pa , com volume inicial de 10 L e volume final de 5 L .

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o diagrama PV e calcular a variação de energia interna, o trabalho e o calor trocado para 1 mol de gás monoatômico ideal submetido a um processo a pressão constante. Dados fornecidos:
n=1\\ \text{mol},
P=1000\\ \text{Pa},
V_i=10\\ \text{L},
V_f=5\\ \text{L},
e a indicação de usar \mathrm{R}=0{,}1\\ \mathrm{atm\;L/mol\;K} ou \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J/mol\;K}. Não foi pedido explicitamente qual usar; como vamos trabalhar em unidades SI para obter energia em joules, usarei \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J/mol\;K} (conforme opção permitida). Neste passo apenas listei o que foi pedido e os dados numéricos; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Converter volumes para o SI (metros cúbicos), porque pressão está em pascal e energia ficará em joules:
V_i=10\\ \text{L}=10\cdot 10^{-3}\\ \text{m}^3=0{,}010\\ \text{m}^3,
V_f=5\\ \text{L}=5\cdot 10^{-3}\\ \text{m}^3=0{,}005\\ \text{m}^3.
Também anoto a variação de volume:
\Delta V=V_f-V_i=0{,}005-0{,}010=-0{,}005\\ \text{m}^3.
Observe: \Delta V<0 indica compressão.

Passo 3

Relembrando a expressão da energia interna para um gás ideal monoatômico: a energia interna depende só da temperatura e vale
U=\frac{3}{2}nRT.
Aqui:
  • \frac{3}{2} vem dos 3 graus de liberdade transacionais (cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}kT por partícula),
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases (aqui usada \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J/mol\;K}),
  • T é a temperatura em kelvin.
    Portanto, a variação de energia interna ao passar de T_1 para T_2 é
\Delta U=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1)=\frac{3}{2}nR\Delta T.
Usando a equação dos gases ideais \;PV=nRT\; podemos escrever \;T=\dfrac{PV}{nR}\;, e assim
\Delta U=\frac{3}{2}nR\left(\frac{P V_f}{nR}-\frac{P V_i}{nR}\right)=\frac{3}{2}P(V_f-V_i)=\frac{3}{2}P\Delta V.
Esse último resultado é muito conveniente: \Delta U pode ser calculada diretamente por pressões e volumes, sem precisar do valor numérico de R (desde que unidades consistentes sejam usadas).

Passo 4

Calcular \Delta U pela fórmula \Delta U=\dfrac{3}{2}P\Delta V. Substituindo:
\Delta U=\frac{3}{2}\cdot 1000\\ \text{Pa}\cdot(-0{,}005\\ \text{m}^3).
Faço a conta passo a passo: 1000\cdot(-0{,}005)=-5. Em seguida \tfrac{3}{2}\cdot(-5)=-7{,}5. Logo
\Delta U=-7{,}5\\ \text{J}.
Interpretação física: a energia interna do gás diminuiu 7{,}5\\ \text{J}, porque o gás foi comprimido e sua temperatura caiu (vamos checar as temperaturas abaixo).

Passo 5

(Verificação calculando temperaturas com \mathrm{R}=10\\ \mathrm{J/mol\;K}.) Usando \;T=\dfrac{PV}{nR}\;:
T_1=\frac{1000\cdot 0{,}010}{1\cdot 10}= \frac{10}{10}=1{,}0\\ \text{K},
T_2=\frac{1000\cdot 0{,}005}{1\cdot 10}= \frac{5}{10}=0{,}5\\ \text{K}.
\Delta T=T_2-T_1=0{,}5-1{,}0=-0{,}5\\ \text{K}.
Agora \Delta U=\dfrac{3}{2}nR\Delta T=\dfrac{3}{2}\cdot 1\cdot 10\cdot(-0{,}5)=-7{,}5\\ \text{J}, o que confirma o resultado do passo anterior.

Passo 6

Calcular o trabalho realizado pelo gás no processo isotérmico (na verdade isobárico): para pressão constante,
W=\int_{V_i}^{V_f}P\,dV = P(V_f-V_i)=P\Delta V.
Substituindo:
W=1000\\ \text{Pa}\cdot(-0{,}005\\ \text{m}^3)=-5{,}0\\ \text{J}.
Interpretação de sinais: adotando a convenção usual onde W é o trabalho realizado pelo sistema (pelo gás) sobre o entorno, W<0 significa que trabalho foi realizado sobre o gás (ou seja, o entorno realizou 5{,}0\\ \text{J} sobre o gás durante a compressão).

Passo 7

Aplicar a primeira lei da termodinâmica (conservação de energia):
\Delta U=Q-W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se recebido). Rearranjando,
Q=\Delta U+W.
Substituo os valores encontrados:
Q=-7{,}5\\ \text{J} + (-5{,}0\\ \text{J})=-12{,}5\\ \text{J}.
Interpretação física: Q<0 indica que 12{,}5\\ \text{J} de calor foram liberados pelo gás para o ambiente durante a compressão (o gás perdeu energia mecânica via trabalho e parte dessa perda veio também por perda de calor).

Passo 8

Esboço do diagrama PV (descrição, já que aqui não posso desenhar): no gráfico com pressão no eixo vertical e volume no eixo horizontal, o processo é uma linha horizontal (porque P é constante) a P=1000\\ \text{Pa}. O ponto inicial está em V=10\\ \text{L} ( 0{,}010\\ \text{m}^3) e o ponto final em V=5\\ \text{L} ( 0{,}005\\ \text{m}^3). A seta indica movimento da direita para a esquerda (compressão). A área sob a curva (linha horizontal) entre os volumes V_i e V_f é exatamente o trabalho W e vale P(V_f-V_i)=-5{,}0\\ \text{J} (a área tem magnitude 5{,}0\\ \text{J} mas o sinal é negativo porque o processo é de compressão).

Resposta

\Delta U=-7{,}5\\ \mathrm{J}
W=-5{,}0\\ \mathrm{J}
Q=-12{,}5\\ \mathrm{J}

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