Considerando ninhadas de \mathrm{n}=3 filhotes de coelhos, construir o espaço amostral considerando os nascimentos de fêmeas e machos, utilizando um diagrama de árvore e considerar os eventos “nascer macho” e “nascer fêmea” como equiprováveis. Calcular as probabilidades dos seguintes eventos:
a) nascimento de exatamente duas fêmeas.
b) nascimento de pelo menos um macho.
c) nascimento de pelo menos duas fêmeas.
d) nascimento de no máximo uma fêmea.

Passo 1

O enunciado pede a construção do espaço amostral para uma ninhada de n=3 filhotes, cada um podendo ser macho (M) ou fêmea (F) com igual probabilidade. Vamos usar um diagrama de árvore para listar todas as possíveis sequências de nascimentos e depois calcular probabilidades dos eventos solicitados.

Passo 2

O diagrama de árvore tem três níveis (um para cada filhote), e em cada nível saem dois ramos (M ou F). Isso gera 2^3=8 resultados possíveis, que podemos listar como
\mathcal{S} = \{\,FFF,\; FFM,\; FMF,\; FMM,\; MFF,\; MFM,\; MMF,\; MMM\}.

Passo 3

Como cada ramo (M ou F) é equiprovável e há três eventos independentes, cada sequência tem probabilidade
P(\text{cada sequência}) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}.ê

Passo 4

(a) Exatamente duas fêmeas significa escolher 2 posições para F entre 3. O número de sequências é
\binom{3}{2}=3, a saber \{FFM,\;FMF,\;MFF\}.
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P(\text{exatamente 2 F}) = 3\cdot\frac{1}{8} = \frac{3}{8}.

Passo 5

(b) Pelo menos um macho é o complemento de “nenhum macho” (todas fêmeas, isto é FFF).
P(\text{pelo menos 1 M}) = 1 - P(FFF) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}.

Passo 6

(c) Pelo menos duas fêmeas abrange os casos “exatamente 2 F” (3 sequências) e “exatamente 3 F” (1 sequência FFF).
P(\text{≥2 F}) = \frac{3+1}{8} = \frac{4}{8} = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

(d) No máximo uma fêmea inclui “nenhuma fêmea” (1 sequência MMM) e “exatamente 1 F” ( \binom{3}{1}=3 sequências: M M F,\;M F M,\;F M M).
P(\text{≤1 F}) = \frac{1+3}{8} = \frac{4}{8} = \tfrac{1}{2}.

Resposta

(a) \tfrac{3}{8}
(b) \tfrac{7}{8}
(c) \tfrac{1}{2}
(d) \tfrac{1}{2}

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