Um engenheiro deseja avaliar a eficiência de dois tipos diferentes de disjuntores (Modelo A e Modelo B) utilizados em sistemas elétricos industriais. Para verificar se há diferença na proporção de falhas entre os dois modelos, foi realizado um teste em campo. Foram instalados 200 disjuntores do Modelo A, dos quais 18 apresentaram falha após 1 ano de uso. E foram instalados 250 disjuntores do Modelo B, dos quais 40 apresentaram falha após 1 ano de uso.
Ao nível de 5 \% de significância, podemos concluir que a proporção de falhas do Modelo A é menor do que a proporção de falhas do Modelo B?

Passo 1

O enunciado trata de comparar a proporção de falhas de dois modelos de disjuntores (A e B) e quer saber se a proporção de falhas do Modelo A é menor que a do Modelo B. O conteúdo usado será o teste de hipóteses para diferença de duas proporções, com aproximação pela distribuição normal (teste z).

Passo 2

Calcular as proporções amostrais de cada modelo: \hat p_A = \dfrac{18}{200} = 0,09 \hat p_B = \dfrac{40}{250} = 0,16

Passo 3

Formular as hipóteses e a estatística de teste.
H_0:\; p_A = p_B
H_1:\; p_A < p_B
Como H_0 iguala as proporções, usamos a proporção combinada (pooled) para calcular o erro padrão. A estatística de teste é
z = \frac{\hat p_A - \hat p_B}{\sqrt{\hat p\,(1-\hat p)\,\bigl(\tfrac1{n_A}+\tfrac1{n_B}\bigr)}}.

Passo 4

Calcular a proporção combinada e o erro padrão:
\hat p = \frac{18 + 40}{200 + 250} = \frac{58}{450} \approx 0,1289
SE = \sqrt{0,1289 \times (1-0,1289)\times\Bigl(\tfrac1{200} + \tfrac1{250}\Bigr)} \approx \sqrt{0,1289 \times 0,8711 \times 0,009} \approx 0,0318

Passo 5

Calcular o valor de z:
z = \frac{0,09 - 0,16}{0,0318} \approx -2,20

Passo 6

Determinar o p-valor para o teste unilateral à esquerda:
p\text{-valor} = P(Z < -2,20) \approx 0,014
Como 0,014 < 0,05, rejeitamos H_0.

Resposta

Sim. Ao nível de significância de 5\%, há evidência estatística para concluir que a proporção de falhas do Modelo A é menor do que a do Modelo B.

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