Considerando os números complexos z_{1}=a+i b e z_{2}=c+i d, julgue os itens.
I Para que z_{1} \times z_{2} seja um número imaginário puro, basta que a c-b d=0.
II Se z_{1}+z_{1} e z_{1}-z_{2} são ambos números reais, então b=d=0 ou b=-d.
III Se z_{1}=\bar{z}_{2}, então b=-d, \operatorname{com} a \neq c.
Assinale a opção correta.
A) Nenhum item está certo.
A) Apenas os itens I e III estão certos.
B) Apenas o item II está certo.
C) Apenas o item III está certo.
D) Apenas os itens I e II estão certos.

Passo 1

O enunciado dá os números complexos
z_{1}=a+i b,\qquad z_{2}=c+i d,
com a,b,c,d\in\mathbb{R}, e pede para julgar os três itens I, II e III e decidir quais estão corretos. Vou listar claramente o que cada item afirma:
  • Item I: “Para que z_{1}\times z_{2} seja um número imaginário puro, basta que a c-b d=0.”
  • Item II: “Se z_{1}+z_{1} e z_{1}-z_{2} são ambos números reais, então b=d=0 ou b=-d.”
  • Item III: “Se z_{1}=\overline{z_{2}}, então b=-d, com a\neq c.”
O objetivo é verificar a verdade de cada item e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Vamos recordar e usar uma técnica básica, muito útil: multiplicar complexos escrevendo parte real e imaginária. Para z_{1}=a+ib e z_{2}=c+id temos
z_{1}z_{2}=(a+ib)(c+id).
Fazendo a multiplicação (distribuindo normalmente e usando i^{2}=-1):
z_{1}z_{2}=ac + i ad + i b c + i^{2}bd = (ac-bd) + i(ad+bc).
Portanto a parte real de z_{1}z_{2} é (ac-bd) e a parte imaginária é (ad+bc).

Passo 3

Agora interpretamos o que significa “número imaginário puro”: é um complexo com parte real igual a zero (ou seja, da forma i\beta com \beta\in\mathbb{R}). Observação didática: às vezes se exige que o número imaginário puro seja não nulo; nesse caso precisaria também \beta\neq0. Mas a condição natural e direta é ter parte real zero.
Aplicando isso ao produto: se (ac-bd)=0 então a parte real do produto é zero, logo z_{1}z_{2} tem parte real zero e é um número imaginário puro (possivelmente zero se também ad+bc=0). Assim a condição ac-bd=0 é suficiente para que o produto seja imaginário puro.
Conclusão sobre o item I: a afirmação "basta que ac-bd=0" é correta (é uma condição suficiente). Se quisessem garantir que o imaginário puro fosse não nulo, seria preciso acrescentar ad+bc\neq0, mas isso não foi pedido. Portanto o item I é verdadeiro.

Passo 4

Agora o item II. O enunciado é preciso: as somas dadas são z_{1}+z_{1} (ou seja, 2z_{1}) e z_{1}-z_{2}. Vamos escrever as partes reais e imaginárias:
  • Para z_{1}+z_{1}=2z_{1} temos
2z_{1}=2a + i\,2b.
Se 2z_{1} é real, a parte imaginária deve ser zero, então
2b=0 \quad\Rightarrow\quad b=0.
  • Para z_{1}-z_{2}=(a-c) + i(b-d). Se z_{1}-z_{2} é real, a parte imaginária é zero, logo
b-d=0 \quad\Rightarrow\quad d=b.
Combinando as duas conclusões: de b=0 e d=b obtemos
b=0\quad\text{e}\quad d=0,
isto é b=d=0.
Agora compare com o que o item II afirma: "então b=d=0 ou b=-d". Da dedução lógica tiramos necessariamente b=d=0. Isso garante que a alternativa b=d=0 é verdadeira; note que quando b=d=0 também se tem b=-d (porque 0=-0), mas o que importa é que pelo menos uma das possibilidades do “ou” do enunciado é satisfeita em todas as situações decorrentes das hipóteses. Portanto o item II é verdadeiro (a forma dada é um enunciado verdadeiramente satisfeito pelas hipóteses).

Passo 5

Item III: a hipótese é z_{1}=\overline{z_{2}}. Escrevendo a conjugada:
\overline{z_{2}}=\overline{c+id}=c - i d.
A igualdade z_{1}=\overline{z_{2}} implica
a + i b = c - i d.
Comparando partes reais e imaginárias obtemos simultaneamente
a=c\quad\text{e}\quad b=-d.
Assim, a relação correta é b=-d e a=c. O item III afirma b=-d mas acrescenta "com a\neq c". Isso é falso, porque da igualdade com o conjugado segue a=c, não a\neq c. Portanto o item III é falso.

Passo 6

Resumo das verdades:
  • I é verdadeiro.
  • II é verdadeiro.
  • III é falso.
Logo a alternativa correta é aquela que afirma que apenas os itens I e II estão certos.

Resposta

D) Apenas os itens I e II estão certos.

Exercícios relacionados