Na história da matemática, a criação ou descoberta dos números complexos ocorreu como resultado de uma tentativa de resolver equações
(A) logarítmicas.
(B) exponenciais.
(C) lineares.
(D) do segundo grau.
(E) do terceiro grau.

Passo 1

O enunciado pergunta qual tipo de equações levou à criação/descoberta dos números complexos. São dadas as alternativas:
(A) logarítmicas.
(B) exponenciais.
(C) lineares.
(D) do 2^\circ grau.
(E) do 3^\circ grau.
O que é pedido: escolher, entre as alternativas, aquela que corresponde ao fato histórico de origem dos números complexos.

Passo 2

Breve contexto histórico e ideia principal (sem resolver ainda): no século XVI matemáticos que estudavam a solução algébrica de equações do 3^\circ grau encontraram expressões que exigiam a extração de raízes quadradas de números negativos — algo que, na época, não tinha sentido comum. Essas raízes “imaginárias” apareceram nas fórmulas para a solução da cúbica e forçaram o desenvolvimento do conceito de número complexo. Vou mostrar isso concretamente com a fórmula de Cardano para a cúbica e um exemplo clássico.

Passo 3

Apresentando a fórmula de Cardano para a cúbica reduzida. Para a cúbica na forma
x^3 + p x + q = 0
a fórmula de Cardano dá uma solução por
x = \sqrt[3]{-\tfrac{q}{2} + \sqrt{\tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27}}} \;+\; \sqrt[3]{-\tfrac{q}{2} - \sqrt{\tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27}}}.
Aqui p e q são os coeficientes da cúbica reduzida; o termo dentro da raiz quadrada
\Delta \;=\; \tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27}
é (proporcional a) o discriminante que determina o tipo de raízes. Se \Delta<0, então aparece \sqrt{\Delta}=\sqrt{\text{negativo}}, ou seja, uma raiz quadrada de número negativo — isto é exatamente onde surge a necessidade de aceitar a existência de \sqrt{-1}, que hoje chamamos i (definindo i^2=-1) e, mais geralmente, dos números complexos.

Passo 4

Exemplo clássico de Cardano que mostra o problema na prática. Considere a cúbica
x^3 = 15x + 4,
que pode ser escrita como
x^3 - 15x - 4 = 0,
ou seja, na forma x^3 + p x + q = 0 com p=-15 e q=-4.
Calculemos o discriminante \Delta:
\Delta = \tfrac{q^2}{4} + \tfrac{p^3}{27} = \tfrac{(-4)^2}{4} + \tfrac{(-15)^3}{27} = 4 - 125 = -121.
Como \Delta = -121 < 0, a fórmula de Cardano envolve \sqrt{\Delta} = \sqrt{-121} = 11\,i. Aplicando a fórmula, uma expressão para uma raiz é
x = \sqrt[3]{2 + 11\,i} \;+\; \sqrt[3]{2 - 11\,i}.
Repare que cada termo dentro da raiz cúbica é um número complexo (porque apareceu \sqrt{-121}), embora, neste caso, a soma das duas raízes cúbicas dê um número real — de fato x=4 é uma raiz real da cúbica (verificação: 4^3 = 64 e 15\cdot 4 + 4 = 64). Esse fenômeno (aparecimento de quantidades complexas ao usar a fórmula, mesmo quando as raízes finais são reais) é conhecido como casus irreducibilis e foi exatamente um dos motivos pelos quais se passou a aceitar e formalizar os números complexos.

Passo 5

Interpretação e conclusão didática: a necessidade de manipular \sqrt{\text{número negativo}}ú surgiu primeiro ao lidar com a solução algébrica das equações do 3^\circ grau (cúbicas) — especialmente ao aplicar a fórmula de Cardano nos casos em que o discriminante é negativo. Mais tarde, matemáticos como Rafael Bombelli sistematizaram o uso dessas quantidades (“imaginárias”) e estabeleceram regras algébricas, o que conduziu à criação e aceitação dos números complexos como um sistema numérico legítimo. Embora equações do 2^\circ grau (quadráticas) também possam produzir raízes imaginárias quando o discriminante é negativo, historicamente o empurrão decisivo para admitir \sqrt{-1} ocorreu no estudo das cúbicas.

Resposta

(E)

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