Na história da matemática, a criação ou descoberta dos números complexos ocorreu como resultado de uma tentativa de resolver equações
(A) logarítmicas.
(B) exponenciais.
(C) lineares.
(D) do segundo grau.
(E) do terceiro grau.
(A) logarítmicas.
(B) exponenciais.
(C) lineares.
(D) do segundo grau.
(E) do terceiro grau.
Passo 1
O enunciado pergunta qual tipo de equações levou à criação/descoberta dos números complexos. São dadas as alternativas:
(A) logarítmicas.
(B) exponenciais.
(C) lineares.
(D) do grau.
(E) do grau.
(A) logarítmicas.
(B) exponenciais.
(C) lineares.
(D) do
(E) do
O que é pedido: escolher, entre as alternativas, aquela que corresponde ao fato histórico de origem dos números complexos.
Passo 2
Breve contexto histórico e ideia principal (sem resolver ainda): no século XVI matemáticos que estudavam a solução algébrica de equações do
grau encontraram expressões que exigiam a extração de raízes quadradas de números negativos — algo que, na época, não tinha sentido comum. Essas raízes “imaginárias” apareceram nas fórmulas para a solução da cúbica e forçaram o desenvolvimento do conceito de número complexo. Vou mostrar isso concretamente com a fórmula de Cardano para a cúbica e um exemplo clássico.
Passo 3
Apresentando a fórmula de Cardano para a cúbica reduzida. Para a cúbica na forma
a fórmula de Cardano dá uma solução por
Aqui
e
são os coeficientes da cúbica reduzida; o termo dentro da raiz quadrada
é (proporcional a) o discriminante que determina o tipo de raízes. Se
, então aparece
, ou seja, uma raiz quadrada de número negativo — isto é exatamente onde surge a necessidade de aceitar a existência de
, que hoje chamamos
(definindo
) e, mais geralmente, dos números complexos.
Passo 4
Exemplo clássico de Cardano que mostra o problema na prática. Considere a cúbica
que pode ser escrita como
ou seja, na forma
com
e
.
Calculemos o discriminante
:
Como
, a fórmula de Cardano envolve
. Aplicando a fórmula, uma expressão para uma raiz é
Repare que cada termo dentro da raiz cúbica é um número complexo (porque apareceu
), embora, neste caso, a soma das duas raízes cúbicas dê um número real — de fato
é uma raiz real da cúbica (verificação:
e
). Esse fenômeno (aparecimento de quantidades complexas ao usar a fórmula, mesmo quando as raízes finais são reais) é conhecido como casus irreducibilis e foi exatamente um dos motivos pelos quais se passou a aceitar e formalizar os números complexos.
Passo 5
Interpretação e conclusão didática: a necessidade de manipular
surgiu primeiro ao lidar com a solução algébrica das equações do
grau (cúbicas) — especialmente ao aplicar a fórmula de Cardano nos casos em que o discriminante é negativo. Mais tarde, matemáticos como Rafael Bombelli sistematizaram o uso dessas quantidades (“imaginárias”) e estabeleceram regras algébricas, o que conduziu à criação e aceitação dos números complexos como um sistema numérico legítimo. Embora equações do
grau (quadráticas) também possam produzir raízes imaginárias quando o discriminante é negativo, historicamente o empurrão decisivo para admitir
ocorreu no estudo das cúbicas.
Resposta
(E)