Uma pessoa dispunha de um capital e montou 3 carteiras de investimentos distribuindo o capital da seguinte forma:
para a carteira de aposentadoria,
para a carteira de ganhos de capital e 10% para a carteira de fundo de reserva. Ao final de um ano, a carteira para aposentadoria rendeu 9,2%, a carteira de ganhos de capital rendeu 13,5% e a carteira de fundo de reserva, 12,4%.
A partir da situação hipotética precedente, assinale a opção que apresenta corretamente o ganho médio do total do capital investido no período de um ano.
(A)
(B)
(C)
(D)
(G)
(A)
(B)
(C)
(D)
(G)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- O capital total foi dividido em três carteiras:
- Carteira de aposentadoria:
do capital. - Carteira de ganhos de capital:
do capital. - Carteira de fundo de reserva:
do capital.
- Carteira de aposentadoria:
- Os rendimentos em um ano foram:
- Aposentadoria:
. - Ganhos de capital:
. - Fundo de reserva:
.
- Aposentadoria:
O enunciado pede o ganho médio (taxa de retorno média) do total do capital investido no período de um ano.
Passo 2
Vamos traduzir isso em variáveis e em uma equação. Seja
o capital inicial total (não precisamos do valor numérico de
, ele serve só para raciocínio). As partes investidas são:
Sejam as taxas de rendimento (em forma decimal)
,
,
para as três carteiras. Depois de um ano, os valores finais de cada carteira são:
O capital final total será a soma dessas três quantias:
Passo 3
Definimos a taxa média
(o ganho médio do capital total) pela relação
Substituindo
em termos de
:
Dividindo ambos os lados por
e desenvolvendo:
Somando as partes constantes
, obtemos a fórmula útil:
Ou seja: a taxa média
é a média ponderada das taxas de cada carteira, com pesos iguais às frações do capital investido — conceito importante: quando diferentes quantias têm diferentes retornos, o retorno global é a soma dos retornos ponderados pelas frações investidas.
Passo 4
Agora convertemos as taxas percentuais fornecidas para decimais (sempre que usar percentuais em cálculo multiplicativo, converta para decimal):
Passo 5
Calculamos cada termo da média ponderada
:
Passo 6
Somando as contribuições:
Convertendo para porcentagem, multiplicando por
: