Uma pessoa dispunha de um capital e montou 3 carteiras de investimentos distribuindo o capital da seguinte forma: 30 \% para a carteira de aposentadoria, 60 \% para a carteira de ganhos de capital e 10% para a carteira de fundo de reserva. Ao final de um ano, a carteira para aposentadoria rendeu 9,2%, a carteira de ganhos de capital rendeu 13,5% e a carteira de fundo de reserva, 12,4%.
A partir da situação hipotética precedente, assinale a opção que apresenta corretamente o ganho médio do total do capital investido no período de um ano.
(A) 10,81 \%
(B) 11,70 \%
(C) 12,10 \%
(D) 12,20 \%
(G) 13,10 \%

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • O capital total foi dividido em três carteiras:
    • Carteira de aposentadoria: 30\% do capital.
    • Carteira de ganhos de capital: 60\% do capital.
    • Carteira de fundo de reserva: 10\% do capital.
  • Os rendimentos em um ano foram:
    • Aposentadoria: 9,2\%.
    • Ganhos de capital: 13,5\%.
    • Fundo de reserva: 12,4\%.
O enunciado pede o ganho médio (taxa de retorno média) do total do capital investido no período de um ano.

Passo 2

Vamos traduzir isso em variáveis e em uma equação. Seja C o capital inicial total (não precisamos do valor numérico de C, ele serve só para raciocínio). As partes investidas são:
C_1 = 0,30C,\qquad C_2 = 0,60C,\qquad C_3 = 0,10C.
Sejam as taxas de rendimento (em forma decimal) r_1, r_2, r_3 para as três carteiras. Depois de um ano, os valores finais de cada carteira são:
C_1(1+r_1),\qquad C_2(1+r_2),\qquad C_3(1+r_3).
O capital final total será a soma dessas três quantias:
C_{\text{final}} = C_1(1+r_1)+C_2(1+r_2)+C_3(1+r_3).

Passo 3

Definimos a taxa média R (o ganho médio do capital total) pela relação
C_{\text{final}} = C(1+R).
Substituindo C_1,C_2,C_3 em termos de C:
C(1+R)=C\bigl(0,30(1+r_1)+0,60(1+r_2)+0,10(1+r_3)\bigr).
Dividindo ambos os lados por C e desenvolvendo:
1+R = 0,30+0,30r_1 + 0,60+0,60r_2 + 0,10+0,10r_3.
Somando as partes constantes 0,30+0,60+0,10=1, obtemos a fórmula útil:
R = 0,30r_1 + 0,60r_2 + 0,10r_3.
Ou seja: a taxa média R é a média ponderada das taxas de cada carteira, com pesos iguais às frações do capital investido — conceito importante: quando diferentes quantias têm diferentes retornos, o retorno global é a soma dos retornos ponderados pelas frações investidas.

Passo 4

Agora convertemos as taxas percentuais fornecidas para decimais (sempre que usar percentuais em cálculo multiplicativo, converta para decimal):
r_1 = 9,2\% = 0,092,\qquad r_2 = 13,5\% = 0,135,\qquad r_3 = 12,4\% = 0,124.

Passo 5

Calculamos cada termo da média ponderada R = 0,30r_1 + 0,60r_2 + 0,10r_3:
0,30\cdot 0,092 = 0,0276,
0,60\cdot 0,135 = 0,0810,
0,10\cdot 0,124 = 0,0124.

Passo 6

Somando as contribuições:
R = 0,0276 + 0,0810 + 0,0124 = 0,1210.
Convertendo para porcentagem, multiplicando por 100:
R = 0,1210 = 12,10\%.

Resposta

12,10\%

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