Considerando-se um operador hermitiano \hat{A}, tempo independente demonstre que a seguinte relação é válida, partindo-se da equação de Schroedinger
\frac{d \hat{A}}{d t}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • O enunciado pede para demonstrar a relação
\frac{d \hat{A}}{d t}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}]
partindo da equação de Schrödinger.
  • Informações dadas:
    • A equação de Schrödinger dependente do tempo (para o vetor de estado) é
    i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle=\hat{H}|\psi(t)\rangle.
    • Temos um operador hermitiano \hat{A} que é “tempo independente” no sentido de não possuir dependência explícita de t no quadro de Schrödinger (ou seja, \hat{A} como operador de Schrödinger não depende de t).
    • \hat{H} é o Hamiltoniano do sistema. Para a derivação simples que vamos fazer assumimos \hat{H} independente de t (caso geral com \hat{H}(t) pede cuidado extra, que posso mostrar se quiser).
Não vou ainda resolver nada; só deixei claro o objetivo e os dados que temos.

Passo 2

Introduzindo o operador de evolução temporal e sua equação diferencial (a partir da equação de Schrödinger).
  • Definimos o operador unitário de evolução temporal \hat{U}(t) através da relação
|\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle.
Aqui \hat{U}(t) age sobre vetores de estado para gerar a evolução entre 0 e t. Pelo fato da evolução ser governada pela equação de Schrödinger, \hat{U}(t) satisfaz a equação diferencial
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t)=\hat{H}\,\hat{U}(t),
com condição inicial \hat{U}(0)=\hat{I} (identidade). Vou mostrar como obtemos essa equação: substituímos |\psi(t)\rangle=\hat{U}(t)|\psi(0)\rangle na equação de Schrödinger e, como isso deve valer para todo |\psi(0)\rangle, obtemos a equação acima para \hat{U}(t).

Passo 3

Propriedades de \hat{U}(t) e derivadas de \hat{U} e \hat{U}^\dagger.
  • Como a evolução quântica preserva norma, \hat{U}(t) é unitário: \hat{U}^\dagger(t)\hat{U}(t)=\hat{I}.
  • Da equação
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t)=\hat{H}\hat{U}(t)
seguimos que
\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t)=-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}(t).
  • Diferenciando \hat{U}^\dagger(t)\hat{U}(t)=\hat{I} em relação a t obtemos
\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t)\,\hat{U}(t)+\hat{U}^\dagger(t)\,\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t)=0.
Substituindo \frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t)=-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\hat{U}(t) achamos
\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}^\dagger(t)=\frac{i}{\hbar}\hat{U}^\dagger(t)\hat{H}.
(Outra forma é usar explicitamente \hat{U}(t)=\exp(-\tfrac{i}{\hbar}\hat{H}t) quando \hat{H} é independente de t; aí \hat{U}^\dagger(t)=\exp(\tfrac{i}{\hbar}\hat{H}t) e as derivadas dão o mesmo resultado.)

Passo 4

Passagem para o quadro de Heisenberg (definição do operador em evolução) e aplicação da regra do produto.
  • No quadro em que os estados são fixos (quadro de Heisenberg), os operadores evoluem segundo
\hat{A}_H(t)=\hat{U}^\dagger(t)\,\hat{A}\,\hat{U}(t),
onde \hat{A} sem índice é o operador no quadro de Schrödinger (tempo independente por hipótese). Nosso objetivo é calcular \frac{d}{dt}\hat{A}_H(t).
  • Aplicamos a regra do produto (derivada de um produto de três fatores):
\frac{d}{dt}\hat{A}_H(t)=\left(\frac{d}{dt}\hat{U}^\dagger(t)\right)\hat{A}\hat{U}(t)+\hat{U}^\dagger(t)\hat{A}\left(\frac{d}{dt}\hat{U}(t)\right).
Agora substituímos as expressões das derivadas de \hat{U} e \hat{U}^\dagger obtidas no passo anterior:
\frac{d}{dt}\hat{A}_H(t)=\frac{i}{\hbar}\hat{U}^\dagger(t)\hat{H}\hat{A}\hat{U}(t)-\frac{i}{\hbar}\hat{U}^\dagger(t)\hat{A}\hat{H}\hat{U}(t).

Passo 5

Identificando o comutador e simplificando para obter a relação desejada.
  • Agrupando os termos em \hat{U}^\dagger(\cdot)\hat{U} obtemos
\frac{d}{dt}\hat{A}_H(t)=\frac{i}{\hbar}\hat{U}^\dagger(t)\big(\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\big)\hat{U}(t).
  • Reconhecemos o comutador [\hat{H},\hat{A}]=\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}. Assim
\frac{d}{dt}\hat{A}_H(t)=\frac{i}{\hbar}\,\hat{U}^\dagger(t)\,[\hat{H},\hat{A}]\,\hat{U}(t).
  • Observação útil: \hat{U}^\dagger(t)[\hat{H},\hat{A}]\hat{U}(t)=[\hat{U}^\dagger(t)\hat{H}\hat{U}(t),\,\hat{U}^\dagger(t)\hat{A}\hat{U}(t)]. Quando \hat{H} é independente de t e \hat{U}(t)=\exp(-\tfrac{i}{\hbar}\hat{H}t), o Hamiltoniano comutará com \hat{U} e portanto \hat{U}^\dagger(t)\hat{H}\hat{U}(t)=\hat{H}. Assim a expressão fica
\frac{d}{dt}\hat{A}_H(t)=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}_H(t)].
  • Como na notação que você escreveu no enunciado o símbolo \hat{A} representa o operador no quadro onde ele evolui (ou seja, estamos identificando \hat{A} com \hat{A}_H(t)), obtemos a fórmula pedida:
\frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}].

Passo 6

Comentários finais, interpretação e lembretes práticos para a prova.
  • A derivação crucial usa a unidade de evolução \hat{U}(t) que vem da equação de Schrödinger e a regra do produto; por isso eu “parti” da equação de Schrödinger como você pediu.
  • Observações importantes para a prova:
    • Se \hat{A} tivesse dependência explícita de tempo (por exemplo \hat{A}=\hat{A}(t) mesmo no quadro de Schrödinger), haveria um termo extra \left(\partial\hat{A}/\partial t\right)_{\text{expl}} e a fórmula geral seria
    \frac{d\hat{A}}{dt}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}]+\left(\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right)_{\text{expl}}.
    • A hermiticidade de \hat{A} ( \hat{A}^\dagger=\hat{A}) não foi usada de modo essencial na derivação; ela garante que o observable associado tenha valores reais, mas a fórmula para a evolução vale para operadores em geral (com a ressalva sobre dependência explícita de tempo).
  • Respire fundo — a lógica é sempre a mesma: equação de Schrödinger → operador unitário de evolução → definir operador em Heisenberg → derivar com regra do produto → reconhecer comutador. Dá para decorar o procedimento e praticar com exemplos simples (matrizes 2\times2) para ficar mais confortável.

Resposta

\frac{d \hat{A}}{d t}=\frac{i}{\hbar}[\hat{H}, \hat{A}]

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