Considerando-se um operador hermitiano
, tempo independente demonstre que a seguinte relação é válida, partindo-se da equação de Schroedinger
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
- O enunciado pede para demonstrar a relação
partindo da equação de Schrödinger.
- Informações dadas:
- A equação de Schrödinger dependente do tempo (para o vetor de estado) é
- Temos um operador hermitiano
que é “tempo independente” no sentido de não possuir dependência explícita de no quadro de Schrödinger (ou seja, como operador de Schrödinger não depende de ). -
é o Hamiltoniano do sistema. Para a derivação simples que vamos fazer assumimos independente de (caso geral com pede cuidado extra, que posso mostrar se quiser).
Não vou ainda resolver nada; só deixei claro o objetivo e os dados que temos.
Passo 2
Introduzindo o operador de evolução temporal e sua equação diferencial (a partir da equação de Schrödinger).
- Definimos o operador unitário de evolução temporal
através da relação
Aqui
age sobre vetores de estado para gerar a evolução entre
e
. Pelo fato da evolução ser governada pela equação de Schrödinger,
satisfaz a equação diferencial
com condição inicial
(identidade). Vou mostrar como obtemos essa equação: substituímos
na equação de Schrödinger e, como isso deve valer para todo
, obtemos a equação acima para
.
Passo 3
Propriedades de
e derivadas de
e
.
-
Como a evolução quântica preserva norma,
é unitário: . -
Da equação
seguimos que
- Diferenciando
em relação a obtemos
Substituindo
achamos
(Outra forma é usar explicitamente
quando
é independente de
; aí
e as derivadas dão o mesmo resultado.)
Passo 4
Passagem para o quadro de Heisenberg (definição do operador em evolução) e aplicação da regra do produto.
- No quadro em que os estados são fixos (quadro de Heisenberg), os operadores evoluem segundo
onde
sem índice é o operador no quadro de Schrödinger (tempo independente por hipótese). Nosso objetivo é calcular
.
- Aplicamos a regra do produto (derivada de um produto de três fatores):
Agora substituímos as expressões das derivadas de
e
obtidas no passo anterior:
Passo 5
Identificando o comutador e simplificando para obter a relação desejada.
- Agrupando os termos em
obtemos
- Reconhecemos o comutador
. Assim
- Observação útil:
. Quando é independente de e , o Hamiltoniano comutará com e portanto . Assim a expressão fica
- Como na notação que você escreveu no enunciado o símbolo
representa o operador no quadro onde ele evolui (ou seja, estamos identificando com ), obtemos a fórmula pedida:
Passo 6
Comentários finais, interpretação e lembretes práticos para a prova.
- A derivação crucial usa a unidade de evolução
que vem da equação de Schrödinger e a regra do produto; por isso eu “parti” da equação de Schrödinger como você pediu. - Observações importantes para a prova:
- Se
tivesse dependência explícita de tempo (por exemplo mesmo no quadro de Schrödinger), haveria um termo extra e a fórmula geral seria
- A hermiticidade de
( ) não foi usada de modo essencial na derivação; ela garante que o observable associado tenha valores reais, mas a fórmula para a evolução vale para operadores em geral (com a ressalva sobre dependência explícita de tempo).
- Se
- Respire fundo — a lógica é sempre a mesma: equação de Schrödinger → operador unitário de evolução → definir operador em Heisenberg → derivar com regra do produto → reconhecer comutador. Dá para decorar o procedimento e praticar com exemplos simples (matrizes
) para ficar mais confortável.