• Imagine um sistema no qual existam apenas dois estados linearmente independentes:
|1\rangle,|2\rangle
O estado mais geral é uma combinação linear normalizada:
|\Psi\rangle=a|1\rangle+b|2\rangle=\binom{a}{b}, \quad \text { com }|a|^{2}+|b|^{2}=1
Suponha que o Hamiltoniano do sistema seja dado pela matriz
\hat{H}=E_{0}\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 2 \end{array}\right)
onde g e h são constantes reais. A equação de Schrödinger (dependente do tempo) é
\hat{H}|\Psi\rangle=i \hbar \frac{d}{d t}|\Psi\rangle .
a) 20 p t s - Encontre os autovalores e os autovetores (normalizados) deste Hamiltoniano.
b) 20 p t s - Suponha que o sistema esteja inicialmente ( t=0 ) no estado |\Psi(0)\rangle=\cos (\alpha)|1\rangle+ \operatorname{sen}(\alpha)|2\rangle. Qual será o estado em um instante de tempo t (considere \alpha como um número real [0,2 \pi]) ?
c) 10 pts - Determine o operador \hat{\rho}(t), e seu respectivo \operatorname{Tr}(\hat{\rho}), considerando-se o resultado do item b.
d) 5 p t s - Considerando-se um novo operador \hat{M} dado por
\hat{M}=\sigma_{0}\left(\begin{array}{ll} 3 & 0 \\\\ 1 & 4 \end{array}\right)
onde, \sigma_{0} \in \operatorname{Re}, determine qual deve ser \langle A\rangle(t), considerando-se que inicialmente a partícula encontra-se no tempo t=0 no estado quântico descrito no item b com \alpha=\pi / 4.
e) 5 p t s - Considerando-se o operador \hat{M} quais são os possíveis valores de serem mensurados por esse operador

Passo 1

O enunciado dá um sistema de dois estados linearmente independentes
|1\rangle,\;|2\rangle
e o estado geral normalizado
|\Psi\rangle=a|1\rangle+b|2\rangle=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix},\quad |a|^{2}+|b|^{2}=1.
O Hamiltoniano é
\hat{H}=E_{0}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
e a equação de Schrödinger dependente do tempo é
\hat{H}|\Psi\rangle=i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi\rangle.
As perguntas são:
  • (a) Encontrar os autovalores e autovetores normalizados de \hat{H}.
  • (b) Dado o estado inicial |\Psi(0)\rangle=\cos(\alpha)|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)|2\rangle com \alpha\in[0,2\pi], achar |\Psi(t)\rangle.
  • (c) Determinar o operador densidade \hat{\rho}(t) e \operatorname{Tr}(\hat{\rho}) usando o resultado do item (b).
  • (d) Para \hat{M}=\sigma_{0}\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]1&4\end{pmatrix} (com \sigma_{0}\in\mathbb{R}) e estado inicial do item (b) com \alpha=\pi/4, determinar \langle A\rangle(t)=\langle\hat{M}\rangle(t).
  • (e) Quais são os possíveis valores mensuráveis do operador \hat{M} (isto é, seus autovalores).
Não inicio a resolução aqui; a partir do próximo passo eu começo a resolver cada item passo a passo.]

Passo 2

(a) — Autovalores e autovetores de \hat{H}.
Explicação didática do que é pedir: um autovalor \lambda e um autovetor |v\rangle satisfazem \hat{H}|v\rangle=\lambda|v\rangle. Para matrizes diagonais isso é muito direto: cada componente na base canônica é multiplicada pelo elemento diagonal correspondente.
Aplicando isso à matriz dada:
\hat{H}=E_{0}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
Os elementos na diagonal são E_{0}\cdot 1 e E_{0}\cdot 2. Logo os autovalores são
\lambda_{1}=E_{0},\qquad \lambda_{2}=2E_{0}.
Autovetores associados: o autovetor associado ao primeiro elemento diagonal é o vetor que tem 1 na primeira componente e 0 na segunda, isto é |1\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. O segundo autovetor é |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Normalização e comentários sobre ortogonalidade (continuação do item a).
Se assumimos que a base \{|1\rangle,|2\rangle\} é ortonormal (como indicado implicitamente pelo enunciado), então
\langle 1|1\rangle=1,\quad \langle 2|2\rangle=1,\quad \langle 1|2\rangle=0.
Portanto os autovetores normalizados são
|v_{1}\rangle=|1\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad |v_{2}\rangle=|2\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Resumo do item (a): autovalores \,E_{0},\,2E_{0}\, com autovetores normalizados |1\rangle,|2\rangle.]

Passo 4

(b) — Solução da equação de Schrödinger dependente do tempo (conceito e método).
Conceito: se \hat{H} tem autovetores |v_{n}\rangle com autovalores E_{n}, então um estado inicial que é combinação linear
|\Psi(0)\rangle=\sum_{n} c_{n}|v_{n}\rangle
evolui no tempo como
|\Psi(t)\rangle=\sum_{n} c_{n}e^{-iE_{n}t/\hbar}|v_{n}\rangle.
Isto vem de resolver a equação ordinária para cada componente: i\hbar \dot{c}_{n}(t)=E_{n} c_{n}(t), cuja solução é c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{-iE_{n}t/\hbar}.
Aplicando ao nosso caso: a base de autovetores é |1\rangle,|2\rangle com E_{1}=E_{0} e E_{2}=2E_{0}. O estado inicial é
|\Psi(0)\rangle=\cos(\alpha)|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)|2\rangle.
Então os coeficientes são c_{1}=\cos(\alpha) e c_{2}=\operatorname{sen}(\alpha). A evolução é
|\Psi(t)\rangle=\cos(\alpha)e^{-iE_{0}t/\hbar}|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)e^{-i2E_{0}t/\hbar}|2\rangle.
Comentário didático extra (sobre fase global): poderíamos multiplicar tudo por um fator de fase global e^{-iE_{0}t/\hbar} e escrever
|\Psi(t)\rangle=e^{-iE_{0}t/\hbar}\Big(\cos(\alpha)|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)e^{-iE_{0}t/\hbar}|2\rangle\Big),
mas como fases globais não alteram probabilidades, a forma anterior é a mais direta para calcular probabilidades e a densidade.

Passo 5

(c) — Operador densidade \hat{\rho}(t) e \operatorname{Tr}(\hat{\rho}).
Definição e interpretação: para um sistema em estado puro |\Psi(t)\rangle, o operador densidade é
\hat{\rho}(t)=|\Psi(t)\rangle\langle\Psi(t)|.
Este operador contém toda a informação estatística do estado; sua traça é sempre 1 para estados normais (puro ou misto devidamente normalizados).
Usando o |\Psi(t)\rangle do passo anterior com a=\cos(\alpha) e b=\operatorname{sen}(\alpha) e escrevendo os componentes:
\psi_{1}(t)=\cos(\alpha)e^{-iE_{0}t/\hbar},\qquad \psi_{2}(t)=\operatorname{sen}(\alpha)e^{-i2E_{0}t/\hbar}.
O elemento (i,j) da matriz densidade na base \{|1\rangle,|2\rangle\} é \rho_{ij}=\psi_{i}(t)\psi_{j}(t)^{*}. Calculamos cada elemento:
Diagonal superior (11):
\rho_{11}=|\psi_{1}(t)|^{2}=\cos^{2}(\alpha).
Diagonal inferior (22):
\rho_{22}=|\psi_{2}(t)|^{2}=\operatorname{sen}^{2}(\alpha).
Elementos fora da diagonal:
\rho_{12}=\psi_{1}(t)\psi_{2}(t)^{*}=\cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{+iE_{0}t/\hbar},
\rho_{21}=\psi_{2}(t)\psi_{1}(t)^{*}=\cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{-iE_{0}t/\hbar}.
Portanto, em matriz,
\hat{\rho}(t)=\begin{pmatrix} \cos^{2}(\alpha) & \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{+iE_{0}t/\hbar}\\[6pt] \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{-iE_{0}t/\hbar} & \operatorname{sen}^{2}(\alpha) \end{pmatrix}.
Verificação da traça:
\operatorname{Tr}(\hat{\rho}(t))=\rho_{11}+\rho_{22}=\cos^{2}(\alpha)+\operatorname{sen}^{2}(\alpha)=1.
Isto confirma que o estado permanece normalizado.
Didática sobre a dependência temporal: observe que as diagonais (probabilidades de estar em |1\rangle e |2\rangle) são constantes no tempo porque \hat{H} é diagonal na base |1\rangle,|2\rangle; já as coerências (off-diagonais) oscilam com fase relativa e^{\pm iE_{0}t/\hbar}.]

Passo 6

(d) — Cálculo de \langle A\rangle(t)=\langle\hat{M}\rangle(t) para \alpha=\pi/4.
Primeiro, explicando o que é expectativa: para um estado puro |\Psi(t)\rangle,
\langle\hat{M}\rangle(t)=\langle\Psi(t)|\hat{M}|\Psi(t)\rangle.
Isto dá um número (em geral complexo se \hat{M} não for Hermitiano; se \hat{M} for observável físico realístico ele deve ser Hermitiano e a expectativa é real).
Dado
\hat{M}=\sigma_{0}\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]1&4\end{pmatrix},\qquad \sigma_{0}\in\mathbb{R},
e \alpha=\pi/4 implica \cos(\alpha)=\operatorname{sen}(\alpha)=1/\sqrt{2}.
Escrevemos os componentes do estado no instante t:
\psi_{1}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{0}t/\hbar},\qquad \psi_{2}(t)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i2E_{0}t/\hbar}.
Calculamos \langle\hat{M}\rangle(t). Uma forma prática é usar a expressão em componentes:
\langle\hat{M}\rangle(t)=\sum_{i,j}\psi_{i}(t)^{*}M_{ij}\psi_{j}(t).
Vamos fazer termo a termo (lembrando que M_{11}=3\sigma_{0},\;M_{12}=0,\;M_{21}=\sigma_{0},\;M_{22}=4\sigma_{0}):
  • Termo com M_{11}:
\psi_{1}^{*}M_{11}\psi_{1}=3\sigma_{0}|\psi_{1}|^{2}=3\sigma_{0}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3\sigma_{0}}{2}.
  • Termo com M_{12} é zero porque M_{12}=0.
  • Termo com M_{21}:
\psi_{2}^{*}M_{21}\psi_{1}=\psi_{2}^{*}\sigma_{0}\psi_{1} =\sigma_{0}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{+i2E_{0}t/\hbar}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-iE_{0}t/\hbar}\right) =\sigma_{0}\cdot\frac{1}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}.
  • Termo com M_{22}:
\psi_{2}^{*}M_{22}\psi_{2}=4\sigma_{0}|\psi_{2}|^{2}=4\sigma_{0}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4\sigma_{0}}{2}=2\sigma_{0}.
Somando:
\langle\hat{M}\rangle(t)=\frac{3\sigma_{0}}{2}+2\sigma_{0}+\frac{\sigma_{0}}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}.
Agrupando termos reias:
\langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}\right).
Observação física e didática: como \hat{M} não é hermitiano (a matriz não é igual à sua conjugada transposta porque M_{12}\neq M_{21}^{*}), a expectativa pode ser complexa em geral; aqui aparece um termo oscilante complexo \frac{\sigma_{0}}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}. Se esperássemos um observável físico (Hermitiano), o esperado seria real; portanto, para interpretação física usual talvez se trocasse \hat{M} pela parte Hermitiana (\hat{M}+\hat{M}^{\dagger})/2. Mas estritamente seguindo o enunciado, a expressão acima é a expectativa de \hat{M}.
Se quisermos a parte real (por exemplo, interpretando valor mensurável), podemos tomar \Re\langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\cos\left(\frac{E_{0}t}{\hbar}\right)\right).]

Passo 7

(e) — Valores possíveis de serem mensurados por \hat{M} (autovalores).
Para um operador matricial, os possíveis resultados de uma medida (no formalismo usual) são os seus autovalores. Como \hat{M}=\sigma_{0}A com
A=\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]1&4\end{pmatrix},
notamos que A é triangular (tem zero em (1,2)), então seus autovalores são simplesmente os elementos da diagonal: 3 e 4. Multiplicando por \sigma_{0}, os autovalores de \hat{M} são
\lambda_{1}=3\sigma_{0},\qquad \lambda_{2}=4\sigma_{0}.
Comentário didático: mesmo que a matriz não seja simétrica, para matrizes triangulares os autovalores são os elementos da diagonal. Se \hat{M} não for Hermitiano, a interpretação como “medida física” fica problemática, porque autovalores podem ser complexos; aqui são reais porque a diagonal é real e o fator \sigma_{0} é real. Para medidas físicas normalmente se exige Hermiticidade para garantir autovetores ortogonais e expectativas reais.]

Resposta

(a) Autovalores: E_{0} e 2E_{0}. Autovetores normalizados: |1\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (para E_{0}) e |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (para 2E_{0}).\n
(b) |\Psi(t)\rangle=\cos(\alpha)e^{-iE_{0}t/\hbar}|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)e^{-i2E_{0}t/\hbar}|2\rangle.\n \text{(c)} \(\displaystyle \hat{\rho}(t)=\begin{pmatrix}\cos^{2}(\alpha) & \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{+iE_{0}t/\hbar}\\[6pt]\cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{-iE_{0}t/\hbar} & \operatorname{sen}^{2}(\alpha)\end{pmatrix},\quad \operatorname{Tr}(\hat{\rho}(t))=1.\n (d) Para \(\alpha=\pi/4: \displaystyle \langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\!\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}\right) (parte real: \displaystyle \Re\langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\!\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\cos\frac{E_{0}t}{\hbar}\right)).\n
(e) Valores mensuráveis (autovalores de \hat{M}): 3\sigma_{0} e 4\sigma_{0}.])

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