a) 20 p t s - Encontre os autovalores e os autovetores (normalizados) deste Hamiltoniano.
b) 20 p t s - Suponha que o sistema esteja inicialmente ( t=0 ) no estado |\Psi(0)\rangle=\cos (\alpha)|1\rangle+ \operatorname{sen}(\alpha)|2\rangle. Qual será o estado em um instante de tempo t (considere \alpha como um número real [0,2 \pi]) ?
c) 10 pts - Determine o operador \hat{\rho}(t), e seu respectivo \operatorname{Tr}(\hat{\rho}), considerando-se o resultado do item b.
d) 5 p t s - Considerando-se um novo operador \hat{M} dado por
onde, \sigma_{0} \in \operatorname{Re}, determine qual deve ser \langle A\rangle(t), considerando-se que inicialmente a partícula encontra-se no tempo t=0 no estado quântico descrito no item b com \alpha=\pi / 4.
e) 5 p t s - Considerando-se o operador \hat{M} quais são os possíveis valores de serem mensurados por esse operador
Passo 1
O enunciado dá um sistema de dois estados linearmente independentes
(a) Encontrar os autovalores e autovetores normalizados de \hat{H}.
(b) Dado o estado inicial |\Psi(0)\rangle=\cos(\alpha)|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)|2\rangle com \alpha\in[0,2\pi], achar |\Psi(t)\rangle.
(c) Determinar o operador densidade \hat{\rho}(t) e \operatorname{Tr}(\hat{\rho}) usando o resultado do item (b).
(d) Para \hat{M}=\sigma_{0}\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]1&4\end{pmatrix} (com \sigma_{0}\in\mathbb{R}) e estado inicial do item (b) com \alpha=\pi/4, determinar \langle A\rangle(t)=\langle\hat{M}\rangle(t).
(e) Quais são os possíveis valores mensuráveis do operador \hat{M} (isto é, seus autovalores).
Não inicio a resolução aqui; a partir do próximo passo eu começo a resolver cada item passo a passo.]
Passo 2
(a) — Autovalores e autovetores de \hat{H}.
Explicação didática do que é pedir: um autovalor \lambda e um autovetor |v\rangle satisfazem \hat{H}|v\rangle=\lambda|v\rangle. Para matrizes diagonais isso é muito direto: cada componente na base canônica é multiplicada pelo elemento diagonal correspondente.
Os elementos na diagonal são E_{0}\cdot 1 e E_{0}\cdot 2. Logo os autovalores são
\lambda_{1}=E_{0},\qquad \lambda_{2}=2E_{0}.
Autovetores associados: o autovetor associado ao primeiro elemento diagonal é o vetor que tem 1 na primeira componente e 0 na segunda, isto é |1\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. O segundo autovetor é |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}.]
Passo 3
Normalização e comentários sobre ortogonalidade (continuação do item a).
Se assumimos que a base \{|1\rangle,|2\rangle\} é ortonormal (como indicado implicitamente pelo enunciado), então
Isto vem de resolver a equação ordinária para cada componente: i\hbar \dot{c}_{n}(t)=E_{n} c_{n}(t), cuja solução é c_{n}(t)=c_{n}(0)e^{-iE_{n}t/\hbar}.
Aplicando ao nosso caso: a base de autovetores é |1\rangle,|2\rangle com E_{1}=E_{0} e E_{2}=2E_{0}. O estado inicial é
Didática sobre a dependência temporal: observe que as diagonais (probabilidades de estar em |1\rangle e |2\rangle) são constantes no tempo porque \hat{H} é diagonal na base |1\rangle,|2\rangle; já as coerências (off-diagonais) oscilam com fase relativa e^{\pm iE_{0}t/\hbar}.]
Passo 6
(d) — Cálculo de \langle A\rangle(t)=\langle\hat{M}\rangle(t) para \alpha=\pi/4.
Primeiro, explicando o que é expectativa: para um estado puro |\Psi(t)\rangle,
Isto dá um número (em geral complexo se \hat{M} não for Hermitiano; se \hat{M} for observável físico realístico ele deve ser Hermitiano e a expectativa é real).
Observação física e didática: como \hat{M} não é hermitiano (a matriz não é igual à sua conjugada transposta porque M_{12}\neq M_{21}^{*}), a expectativa pode ser complexa em geral; aqui aparece um termo oscilante complexo \frac{\sigma_{0}}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}. Se esperássemos um observável físico (Hermitiano), o esperado seria real; portanto, para interpretação física usual talvez se trocasse \hat{M} pela parte Hermitiana (\hat{M}+\hat{M}^{\dagger})/2. Mas estritamente seguindo o enunciado, a expressão acima é a expectativa de \hat{M}.
Se quisermos a parte real (por exemplo, interpretando valor mensurável), podemos tomar \Re\langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\cos\left(\frac{E_{0}t}{\hbar}\right)\right).]
Passo 7
(e) — Valores possíveis de serem mensurados por \hat{M} (autovalores).
Para um operador matricial, os possíveis resultados de uma medida (no formalismo usual) são os seus autovalores. Como \hat{M}=\sigma_{0}A com
A=\begin{pmatrix}3&0\\[4pt]1&4\end{pmatrix},
notamos que A é triangular (tem zero em (1,2)), então seus autovalores são simplesmente os elementos da diagonal: 3 e 4. Multiplicando por \sigma_{0}, os autovalores de \hat{M} são
Comentário didático: mesmo que a matriz não seja simétrica, para matrizes triangulares os autovalores são os elementos da diagonal. Se \hat{M} não for Hermitiano, a interpretação como “medida física” fica problemática, porque autovalores podem ser complexos; aqui são reais porque a diagonal é real e o fator \sigma_{0} é real. Para medidas físicas normalmente se exige Hermiticidade para garantir autovetores ortogonais e expectativas reais.]
Resposta
(a) Autovalores: E_{0} e 2E_{0}. Autovetores normalizados: |1\rangle=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (para E_{0}) e |2\rangle=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (para 2E_{0}).\n
(b) |\Psi(t)\rangle=\cos(\alpha)e^{-iE_{0}t/\hbar}|1\rangle+\operatorname{sen}(\alpha)e^{-i2E_{0}t/\hbar}|2\rangle.\n
\text{(c)} \(\displaystyle \hat{\rho}(t)=\begin{pmatrix}\cos^{2}(\alpha) & \cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{+iE_{0}t/\hbar}\\[6pt]\cos(\alpha)\operatorname{sen}(\alpha)\,e^{-iE_{0}t/\hbar} & \operatorname{sen}^{2}(\alpha)\end{pmatrix},\quad \operatorname{Tr}(\hat{\rho}(t))=1.\n
(d) Para \(\alpha=\pi/4: \displaystyle \langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\!\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}e^{+iE_{0}t/\hbar}\right) (parte real: \displaystyle \Re\langle\hat{M}\rangle(t)=\sigma_{0}\!\left(\frac{7}{2}+\frac{1}{2}\cos\frac{E_{0}t}{\hbar}\right)).\n
(e) Valores mensuráveis (autovalores de \hat{M}): 3\sigma_{0} e 4\sigma_{0}.])