Considerando o problema anterior, determine o número de maneiras distintas de se fazer o pagamento, supondo que Cíntia disponha apenas de:
(a) moedas de
1,00
\mathrm{R} $2,00$.
(a) moedas de
Passo 1
O enunciado que você mandou diz que Cíntia dispõe apenas de moedas de
real e notas de
reais e pede o número de maneiras distintas de fazer o pagamento.
O valor total a ser pago (vamos chamar de reais) não foi informado no enunciado que você enviou. Portanto vou resolver o problema de forma geral: determinar, em função de
, quantas maneiras distintas existem de pagar exatamente
reais usando apenas moedas de
e notas de
. Se você tiver um valor específico (por exemplo
), é só substituir na fórmula final.
O valor total a ser pago (vamos chamar de
Passo 2
Modelagem do problema com variáveis inteiras:
Defina como o número de moedas de
real e
como o número de notas de
reais que Cíntia usa. Cada moeda de
vale
real e cada nota de
vale
reais, então o total pago é dado pela equação
Defina
onde
e
devem ser números inteiros não negativos (
). Vou explicar o que isso significa: para cada escolha de
(quantas notas de
), existe um único
que completa o restante do valor, desde que esse
seja inteiro e não negativo.
Passo 3
Contagem das soluções inteiras não negativas:
Da equação temos
. Para que
seja um inteiro não negativo é necessário e suficiente que
seja um inteiro tal que
. Como
é inteiro, os valores possíveis de
são
Da equação
onde
é a parte inteira (piso) de
. Cada escolha de
dá exatamente uma escolha de
(pela fórmula
), logo o número total de soluções (ou seja, o número de maneiras distintas de pagar
reais) é o número de valores inteiros de
acima, isto é
Passo 4
Interpretação e exemplos práticos (para fixar):
- Se
é par, digamos , então maneiras. São: . - Se
é ímpar, digamos , então maneiras. São: . - Caso
existe exatamente uma maneira (não usar nada): .
Observação final: não faz sentidonegativo; para valores inteiros a fórmula acima é válida.