Considerando o problema anterior, determine o número de maneiras distintas de se fazer o pagamento, supondo que Cíntia disponha apenas de:
(a) moedas de \mathrm{R} \ 1,00 e notas de\mathrm{R} $2,00$.

Passo 1

O enunciado que você mandou diz que Cíntia dispõe apenas de moedas de 1 real e notas de 2 reais e pede o número de maneiras distintas de fazer o pagamento.
O valor total a ser pago (vamos chamar de n reais) não foi informado no enunciado que você enviou. Portanto vou resolver o problema de forma geral: determinar, em função de n, quantas maneiras distintas existem de pagar exatamente n reais usando apenas moedas de 1 e notas de 2. Se você tiver um valor específico (por exemplo n=10), é só substituir na fórmula final.

Passo 2

Modelagem do problema com variáveis inteiras:
Defina \,x como o número de moedas de 1 real e \,y como o número de notas de 2 reais que Cíntia usa. Cada moeda de 1 vale 1 real e cada nota de 2 vale 2 reais, então o total pago é dado pela equação
x + 2y = n,
onde \,x e \,y devem ser números inteiros não negativos ( x\ge 0,\;y\ge 0). Vou explicar o que isso significa: para cada escolha de y (quantas notas de 2), existe um único x que completa o restante do valor, desde que esse x seja inteiro e não negativo.

Passo 3

Contagem das soluções inteiras não negativas:
Da equação \,x+2y=n temos \,x = n-2y. Para que \,x seja um inteiro não negativo é necessário e suficiente que y seja um inteiro tal que 0\le y\le \dfrac{n}{2}. Como y é inteiro, os valores possíveis de y são
y = 0,1,2,\dots,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor,
onde \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor é a parte inteira (piso) de \frac{n}{2}. Cada escolha de y dá exatamente uma escolha de x (pela fórmula x=n-2y), logo o número total de soluções (ou seja, o número de maneiras distintas de pagar n reais) é o número de valores inteiros de y acima, isto é
\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + 1.

Passo 4

Interpretação e exemplos práticos (para fixar):
  • Se n é par, digamos n=6, então \left\lfloor\frac{6}{2}\right\rfloor + 1 = 3+1 = 4 maneiras. São: (x,y)=(6,0),(4,1),(2,2),(0,3).
  • Se n é ímpar, digamos n=5, então \left\lfloor\frac{5}{2}\right\rfloor + 1 = 2+1 = 3 maneiras. São: (x,y)=(5,0),(3,1),(1,2).
  • Caso n=0 existe exatamente uma maneira (não usar nada): \left\lfloor\frac{0}{2}\right\rfloor+1=1.
    Observação final: não faz sentido n negativo; para valores inteiros n\ge 0 a fórmula acima é válida.

Resposta

\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + 1

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