Determine duas soluções de cada uma das equações seguintes:
(a) 3 x-5 y=7

Passo 1

O enunciado dá a equação linear
3x-5y=7
e pede que eu determine duas soluções. Vou considerar que estamos procurando pares (x,y) inteiros (soluções inteiras), o que é o mais comum nesse tipo de exercício. Informações relevantes dadas: os coeficientes são 3 e -5 e o termo independente é 7. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se existem soluções inteiras. Para isso uso o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes 3 e 5.
Calculo mentalmente que \gcd(3,5)=1. Como 1 divide 7, a equação tem soluções inteiras (uma consequência geral: \gcd(a,b) deve dividir o lado direito para haver solução inteira da equação ax+by=c). Isso só garante existência; agora vou encontrar uma solução explícita.

Passo 3

Uma maneira prática de achar uma solução particular é trabalhar módulo 5 para eliminar y. Reduzo a equação \bmod 5:
3x-5y\equiv 7\pmod{5}\Rightarrow 3x\equiv 7\pmod{5}.
Como 7\equiv 2\pmod{5}, tenho
3x\equiv 2\pmod{5}.
Agora preciso do inverso de 3 módulo 5. Testando pequenos números, vejo que 3\cdot 2=6\equiv 1\pmod{5}, logo o inverso de 3 modulo 5 é 2. Multiplico ambos os lados por 2 e obtenho
x\equiv 2\cdot 2\equiv 4\pmod{5}.
Isso significa que todas as soluções inteiras para x têm a forma
x=4+5t,
onde t é um número inteiro.

Passo 4

Agora encontro y em função de t. Da equação original posso isolar y:
y=\frac{3x-7}{5}.
Substituo x=4+5t:
y=\frac{3(4+5t)-7}{5}=\frac{12+15t-7}{5}=\frac{5+15t}{5}=1+3t.
Portanto, a solução geral inteira é
x=4+5t,\qquad y=1+3t,\qquad t\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Explico rapidamente por que essa fórmula gera só soluções inteiras: para qualquer t\in\mathbb{Z}, x e y são inteiros e, substituindo na equação,
3(4+5t)-5(1+3t)=12+15t-5-15t=7,
logo a igualdade é satisfeita. Portanto todos esses pares são soluções; existem infinitas soluções inteiras, e basta escolher dois valores distintos de t para obter duas soluções.

Passo 6

Escolho t=0 e t=1 para obter duas soluções simples.
  • Para t=0: x=4+5\cdot 0=4, y=1+3\cdot 0=1. Verificação: 3\cdot 4-5\cdot 1=12-5=7.
  • Para t=1: x=4+5\cdot 1=9, y=1+3\cdot 1=4. Verificação: 3\cdot 9-5\cdot 4=27-20=7.

Resposta

(4,1)
(9,4)

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