Determine duas soluções de cada uma das equações seguintes:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação linear
e pede que eu determine duas soluções. Vou considerar que estamos procurando pares
inteiros (soluções inteiras), o que é o mais comum nesse tipo de exercício. Informações relevantes dadas: os coeficientes são
e
e o termo independente é
. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se existem soluções inteiras. Para isso uso o máximo divisor comum (MDC) dos coeficientes
e
.
Calculo mentalmente que . Como
divide
, a equação tem soluções inteiras (uma consequência geral:
deve dividir o lado direito para haver solução inteira da equação
). Isso só garante existência; agora vou encontrar uma solução explícita.
Calculo mentalmente que
Passo 3
Uma maneira prática de achar uma solução particular é trabalhar módulo
para eliminar
. Reduzo a equação
:
Como
, tenho
Agora preciso do inverso de
módulo
. Testando pequenos números, vejo que
, logo o inverso de
modulo
é
. Multiplico ambos os lados por
e obtenho
Isso significa que todas as soluções inteiras para
têm a forma
onde
é um número inteiro.
Passo 4
Agora encontro
em função de
. Da equação original posso isolar
:
Substituo
:
Portanto, a solução geral inteira é
Passo 5
Explico rapidamente por que essa fórmula gera só soluções inteiras: para qualquer
,
e
são inteiros e, substituindo na equação,
logo a igualdade é satisfeita. Portanto todos esses pares são soluções; existem infinitas soluções inteiras, e basta escolher dois valores distintos de
para obter duas soluções.
Passo 6
Escolho
e
para obter duas soluções simples.
- Para
: , . Verificação: . - Para
: , . Verificação: .