Resolva os seguintes sistemas, algébrica e graficamente, e classifique cada um deles em seu caderno.
(d) \left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=1 \\\\ 6 x-4 y=7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos o sistema e o classifiquemos, tanto algébrica quanto graficamente. O sistema dado é:
\begin{cases} 3x-2y=1\\[4pt] 6x-4y=7 \end{cases}
Informações relevantes retiradas do enunciado:
\text{Equação (1): }3x-2y=1çã
\text{Equação (2): }6x-4y=7çã
As tarefas são: (a) resolver algebraicamente; (b) resolver graficamente; (c) classificar o sistema (se tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução).]
Passo 2
Método algébrico (ideia e por que usar): uma técnica simples é verificar se uma equação é múltipla da outra. Se multiplicarmos a equação (1) por 2 obtemos uma equação com os mesmos coeficientes nas incógnitas que a equação (2) — isso facilita comparar as duas equações e decidir se há solução. Vou fazer isso passo a passo e explicar o que significa cada operação.
Passo 3
Multiplico a equação (1) por 2:
2\cdot(3x-2y)=2\cdot 1
Isso dá a equação equivalente
6x-4y=2.
Compare agora com a equação (2), que é
6x-4y=7.
Passo 4
Observação e conclusão algébrica: as duas equações que acabamos de comparar têm o mesmo membro esquerdo (6x-4y) mas membros direitos diferentes (2 e 7). Subtraindo uma equação da outra obtemos:
(6x-4y)-(6x-4y)=2-7
ou seja
0=-5,
o que é uma contradição impossíve l. Isso significa que não existe par (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações. Em linguagem de sistemas lineares, o sistema é incompatível (ou seja, não tem solução).
Passo 5
Método gráfico (transformar em forma de reta e interpretar): para ver geometricamente, escrevemos cada equação na forma y=mx+b (forma reduzida), onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o termo constante (intercepto em y). Faço isso para cada equação:
Aqui o coeficiente angular também é m=\tfrac{3}{2} e o intercepto é b=-\tfrac{7}{4}.
Passo 6
Interpretação gráfica: as duas retas têm o mesmo coeficiente angular \tfrac{3}{2}, ou seja, têm a mesma inclinação — são paralelas. Como os interceptos b são diferentes (-\tfrac{1}{2} e -\tfrac{7}{4}), as retas são distintas e paralelas, logo não se interceptam. Portanto, graficamente também vemos que não há ponto de interseção, confirmando que o sistema não tem solução.
Para desenhar rapidamente no caderno, você pode marcar dois pontos por reta:
Para y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac{1}{2}: por exemplo x=0\Rightarrow y=-\tfrac{1}{2} e y=0\Rightarrow x=\tfrac{1}{3}.
Para y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac{7}{4}: por exemplo x=0\Rightarrow y=-\tfrac{7}{4} e y=0\Rightarrow x=\tfrac{7}{6}.
Ligue os pontos de cada reta; verá duas linhas paralelas sem interseção.
Passo 7
Classificação final e conclusão pedagógica: como mostramos, o sistema não admite solução porque as equações correspondem a duas retas paralelas distintas. Na terminologia usual:
o sistema é incompatível (ou inconsistente);
não há solução (conjunto solução vazio).
Se ficar nervoso na prova: um truque rápido é checar se os coeficientes das incógnitas são proporcionais. Se forem proporcionais e os termos independentes não forem, então o sistema é incompatível. Isso é rápido e salva tempo.
Resposta
Solução algébrica: não existe solução (contradição 0=-5).
Solução gráfica: não existe solução (duas retas paralelas y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac{1}{2} e y=\tfrac{3}{2}x-\tfrac{7}{4}).
Classificação: sistema incompatível (sem solução).