Considerando o problema do cálculo da densidade de energia da radiação de cavidade ou de corpo negro. Faça um digressão do problema que leva aos resultados da teoria clássica de Rayleigh e Jeans.

Passo 1

O que o enunciado pede aqui é uma digressão que conduza ao resultado clássico de Rayleigh–Jeans para a densidade de energia da radiação em equilíbrio térmico dentro de uma cavidade (corpo negro). Ou seja: queremos chegar à expressão que dá a densidade de energia por unidade de frequência e por unidade de volume como função da frequência \nu e da temperatura T, usando argumentos clássicos.
Informações e dados relevantes que vamos usar (dados do problema):
  • A cavidade tem volume V e contém radiação eletromagnética em equilíbrio térmico à temperatura T.
  • A velocidade da luz no vácuo é c.
  • A constante de Boltzmann é k_B.
  • Conceitos que o enunciado pressupõe: modos normais de oscilação do campo eletromagnético na cavidade, contagem de estados em espaço de \mathbf{k}, e o teorema da equipartição da energia (clássico).
    As perguntas implícitas que iremos responder passo a passo:
  1. Como contar quantos modos eletromagnéticos há numa cavidade num intervalo de frequências \nu a \nu+d\nu?
  2. Qual é a energia média clássica associada a cada modo?
  3. Como combinar essas duas informações para obter a densidade de energia espectral u(\nu,T)?
  4. Quais as consequências físicas (por exemplo, divergência da energia total) desse resultado?

Passo 2

Contagem de modos no espaço de \mathbf{k}: ideia física e modelo geométrico.
Explicando devagar: a solução das equações de Maxwell numa cavidade pode ser decompondo o campo em modos harmônicos caracterizados por um vetor de onda \mathbf{k}. Cada modo tem uma frequência relacionada por \omega = c|\mathbf{k}| e \nu=\omega/(2\pi)=c|\mathbf{k}|/(2\pi). Para contar modos, é comum imaginar a cavidade como um cubo de lado L (volume V=L^3) com condições periódicas ou de contorno apropriadas — o importante é que os estados possíveis de \mathbf{k} formam uma grade no espaço de \mathbf{k} com um “volume” por estado igual a (2\pi/L)^3.
Volume de um “anel” em \mathbf{k}-espaço entre k e k+dk é
\text{vol\,anel} = 4\pi k^2\,dk.
Cada estado ocupa volume (2\pi/L)^3 nesse espaço, então o número de estados (contando polarizações adiante) com magnitude de onda entre k e k+dk é
\frac{4\pi k^2\,dk}{(2\pi/L)^3} = \frac{V}{2\pi^2}\,k^2\,dk.
Agora explicando a polarização: um campo eletromagnético transverso possui duas polarizações por vetor \mathbf{k}. Multiplicamos por 2 para incluir isso. Assim o número total de modos (contando as duas polarizações) no intervalo k a k+dk é
\text{d}N_k = 2\cdot \frac{V}{2\pi^2}\,k^2\,dk = \frac{V}{\pi^2}\,k^2\,dk.
Aqui cada símbolo significa: \text{d}N_k = número de modos no anel; V = volume da cavidade; k=|\mathbf{k}|; dk = largura do anel em k-espaço.

Passo 3

Mudança de variável de k para frequência \nu e obtenção da densidade espectral de modos.
Relação entre k e \nu:
k = \frac{2\pi \nu}{c},\qquad dk = \frac{2\pi}{c}\,d\nu.
Substituindo k e dk na expressão de \text{d}N_k:
\text{d}N_\nu = \frac{V}{\pi^2}\left(\frac{2\pi \nu}{c}\right)^2\left(\frac{2\pi}{c}\,d\nu\right).
Fazendo as contas passo a passo:
\left(\frac{2\pi \nu}{c}\right)^2 = \frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2},
então
\text{d}N_\nu = \frac{V}{\pi^2}\cdot\frac{4\pi^2 \nu^2}{c^2}\cdot\frac{2\pi}{c}\,d\nu = V\cdot\frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,d\nu.
Portanto o número de modos por unidade volume, entre \nu e \nu+d\nu, é
g(\nu)\,d\nu \equiv \frac{\text{d}N_\nu}{V} = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,d\nu.
Interpretação física: g(\nu) é a densidade de estados por unidade de volume por unidade de frequência — quantos modos “existem” nessa faixa de frequência em cada unidade de volume da cavidade.

Passo 4

Energia média clássica por modo: teorema da equipartição e o campo eletromagnético como oscilador harmônico.
Explicando com calma: na teoria clássica, cada grau de liberdade que aparece quadrático na energia contribui, em média, com \tfrac{1}{2}k_B T à energia total (teorema da equipartição). Um modo eletromagnético harmônico pode ser visto como um oscilador que tem duas partes quadráticas de energia: energia elétrica (associada ao campo elétrico) e energia magnética (associada ao campo magnético). Cada uma dessas partes fornece \tfrac{1}{2}k_B T em média, portanto a energia média por modo é
\langle \epsilon \rangle = k_B T.
Um lembrete prático: pensar em um modo como um oscilador harmonic clássico — posição e momento quadráticos dão \tfrac{1}{2}k_B T cada um; aqui a divisão é entre campos elétrico e magnético, somando k_B T.

Passo 5

Combinação da densidade de modos com a energia média por modo → lei de Rayleigh–Jeans.
Multiplicamos a densidade de modos por unidade volume g(\nu) pela energia média clássica por modo \langle \epsilon\rangle:
u(\nu,T)\,d\nu = g(\nu)\, \langle \epsilon\rangle \,d\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,k_B T\,d\nu.
Esta é a forma espectral clássica da densidade de energia por unidade de volume por unidade de frequência — a famosa lei de Rayleigh–Jeans. Em forma explícita sem o d\nu:
\boxed{\,u(\nu,T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,k_B T\,.}
Conversão para a densidade por unidade de comprimento de onda \lambda: usando \nu = c/\lambda e d\nu = -\dfrac{c}{\lambda^2}d\lambda, obtém-se (tomando o módulo)
u(\lambda,T) = \frac{8\pi k_B T}{\lambda^4}.
Expliquei passo a passo a mudança de variável para que você possa obter uma ou outra forma conforme o enunciado da prova.

Passo 6

Consequência física crucial: a “catástrofe ultravioleta” e validade da lei.
A densidade total de energia por unidade volume prevista pela teoria clássica é a integral
U/V = \int_{0}^{\infty} u(\nu,T)\,d\nu = \int_{0}^{\infty} \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,k_B T\,d\nu.
Mas a integral
\int_{0}^{\infty} \nu^2\,d\nu
diverge (vai para infinito). Portanto a teoria clássica prevê energia total infinita dentro da cavidade — resultado absurdo e em desacordo com experimentos. Esse problema histórico é chamado de catástrofe ultravioleta: a predição clássica explode nas altas frequências (pequenos comprimentos de onda).
Observação sobre validade: apesar do colapso em altas frequências, a lei de Rayleigh–Jeans funciona bem no limite de baixas frequências (ou grandes comprimentos de onda), onde h\nu \ll k_B T (nota: aqui já uso h apenas para comparar com a correção quântica que vem depois).

Passo 7

Significado histórico e conclusão didática — por que falhou e o que aprendeu a física.
Resumo e interpretação pedagógica passo a passo:
  • Contagem de modos em \mathbf{k}-espaço é puramente geométrica e correta (levando em conta as duas polarizações).
  • O ponto crítico onde a teoria clássica falha é a suposição da equipartição aplicada a todos os modos, inclusive os de frequência arbitrariamente alta. Essa suposição atribui energia k_B T a cada modo, sem custo adicional, gerando contribuição infinita das infinitas modalidades de alta \nu.
  • Experimentalmente, o espectro de corpo negro tem um pico e decai exponencialmente nas altas frequências; para consertar o problema Planck introduziu a hipótese de quantização de energia dos modos, substituindo \langle \epsilon\rangle = k_B T pela média quântica \langle \epsilon \rangle = \dfrac{h\nu}{e^{h\nu/(k_B T)}-1}, obtendo a lei de Planck que elimina a divergência e concorda com os dados.
    Encorajo: memorize bem a sequência lógica (contar modos → densidade de estados → energia média por modo → multiplicar → verificar integral). Em prova, essa sequência rende pontos e permite mostrar onde a física clássica entra em crise — uma excelente oportunidade para comentar historicamente sobre a origem da física quântica.

Resposta

u(\nu,T) = \frac{8\pi \nu^2}{c^3}\,k_B T
u(\lambda,T) = \frac{8\pi k_B T}{\lambda^4}
\int_{0}^{\infty} u(\nu,T)\,d\nu = \infty\quad\text{(catástrofe ultravioleta: divergência da energia total)}áê

Exercícios relacionados