(P7.8) Uma mola de constante elástica
está em repouso sobre o chão, em posição vertical quando um corpo de massa
é soltado de uma altura igual a
acima do topo da mola e cai sobre ela. De quanto ela será comprimida se o mesmo corpo for soltado de uma altura igual a 42 cm ?
Resposta:
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
o corpo é solto a uma altura inicial em relação ao topo da mola de
(ou
). O enunciado também menciona uma situação com
, mas a pergunta final é sobre a liberação a
.
O que se pede:
Determinar a compressão máxima da mola quando o corpo é solto de
.
Determinar a compressão máxima
Passo 2
Conservação de energia — ideia e quantidades envolvidas. Vou explicar devagar porque essa parte é a chave: enquanto o corpo cai e comprime a mola, a energia potencial gravitacional que ele perde vira energia potencial elástica armazenada na mola (desprezando atrito e perdas). No instante de compressão máxima a velocidade é zero, então toda energia disponível está na mola.
As energias que usamos são:
energia potencial gravitacional:
, onde
é a massa,
é a aceleração da gravidade e
é a altura (veja como usamos isto abaixo);
energia potencial elástica da mola:
, onde
é a constante elástica e
é a compressão da mola a partir da posição não comprimida.
Aqui vou adotar
. Se preferir outro valor (por ex.
), os passos são os mesmos, só muda o número final.
Passo 3
Montando a equação de conservação de energia. Escolho como referência de energia potencial gravitacional o topo da mola quando ela não está comprimida (assim a energia inicial é simplesmente
). O corpo, ao atingir a compressão máxima
, desceu uma distância total de
, portanto a energia gravitacional “liberada” é
e toda ela foi armazenada na mola:
Essa é a equação fundamental. Explicando cada termo:
-
é a perda de energia potencial gravitacional desde a altura inicial até a posição de compressão máxima; -
é a energia elástica no ponto de compressão máxima; - assumimos ausência de perdas, por isso igualamos as duas.
Passo 4
Rearranjando a equação para obter um polinômio em
. Multiplico por 2 para evitar frações:
Colocando tudo no lado esquerdo:
Isto é uma equação quadrática padrão
com
Passo 5
Substituo os números e calculo os coeficientes. Usando
,
,
e
:
Calcule
:
Calcule
:
Logo a equação quadrática fica
Agora uso a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Calculo passo a passo:
portanto
A raiz do discriminante é aproximadamente
Passo 6
Encontro as raízes com a fórmula:
Como
, temos
e
. Então
As duas soluções numéricas são
A solução física é a positiva, pois compressão negativa não faz sentido aqui. Portanto
Converto para centímetros para ficar mais intuitivo: