(P7.8) Uma mola de constante elástica k=1000 \mathrm{~N} / \mathrm{m} está em repouso sobre o chão, em posição vertical quando um corpo de massa m=2,0 \mathrm{~kg} é soltado de uma altura igual a 5,0 \mathrm{~cm} acima do topo da mola e cai sobre ela. De quanto ela será comprimida se o mesmo corpo for soltado de uma altura igual a 42 cm ?
Resposta:

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa.
Dados:
k=1000\\ \mathrm{N/m},
m=2{,}0\\ \mathrm{kg},
o corpo é solto a uma altura inicial em relação ao topo da mola de \,h=0{,}42\\ \mathrm{m} (ou 42\\ \mathrm{cm}). O enunciado também menciona uma situação com 5{,}0\\ \mathrm{cm}, mas a pergunta final é sobre a liberação a 42\\ \mathrm{cm}.
O que se pede:
Determinar a compressão máxima x da mola quando o corpo é solto de \,h=0{,}42\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conservação de energia — ideia e quantidades envolvidas. Vou explicar devagar porque essa parte é a chave: enquanto o corpo cai e comprime a mola, a energia potencial gravitacional que ele perde vira energia potencial elástica armazenada na mola (desprezando atrito e perdas). No instante de compressão máxima a velocidade é zero, então toda energia disponível está na mola.
As energias que usamos são:
energia potencial gravitacional: \,U_g = m g y, onde m é a massa, g é a aceleração da gravidade e y é a altura (veja como usamos isto abaixo);
energia potencial elástica da mola: \,U_s = \dfrac{1}{2} k x^2, onde k é a constante elástica e x é a compressão da mola a partir da posição não comprimida.
Aqui vou adotar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. Se preferir outro valor (por ex. 10), os passos são os mesmos, só muda o número final.

Passo 3

Montando a equação de conservação de energia. Escolho como referência de energia potencial gravitacional o topo da mola quando ela não está comprimida (assim a energia inicial é simplesmente mgh). O corpo, ao atingir a compressão máxima x, desceu uma distância total de h+x, portanto a energia gravitacional “liberada” é m g (h+x) e toda ela foi armazenada na mola:
m g (h+x) = \frac{1}{2} k x^2.
Essa é a equação fundamental. Explicando cada termo:
  • \,m g (h+x) é a perda de energia potencial gravitacional desde a altura inicial até a posição de compressão máxima;
  • \dfrac{1}{2} k x^2 é a energia elástica no ponto de compressão máxima;
  • assumimos ausência de perdas, por isso igualamos as duas.

Passo 4

Rearranjando a equação para obter um polinômio em x. Multiplico por 2 para evitar frações:
k x^2 = 2 m g (h+x).
Colocando tudo no lado esquerdo:
k x^2 - 2 m g x - 2 m g h = 0.
Isto é uma equação quadrática padrão a x^2 + b x + c = 0 com
a = k,\quad b = -2 m g,\quad c = -2 m g h.

Passo 5

Substituo os números e calculo os coeficientes. Usando k=1000, m=2{,}0, g=9{,}8 e h=0{,}42:
Calcule 2 m g:
2 m g = 2\cdot 2{,}0\cdot 9{,}8 = 39{,}2.
Calcule 2 m g h:
2 m g h = 39{,}2 \cdot 0{,}42 = 16{,}464.
Logo a equação quadrática fica
1000 x^2 - 39{,}2 x - 16{,}464 = 0.
Agora uso a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4 a c = (-39{,}2)^2 - 4\cdot 1000\cdot(-16{,}464).
Calculo passo a passo:
(-39{,}2)^2 = 1536{,}64,
4\cdot 1000\cdot 16{,}464 = 65{,}856,
portanto
\Delta = 1536{,}64 + 65{,}856 = 67{,}392{,}64.
A raiz do discriminante é aproximadamente
\sqrt{\Delta} \approx 259{,}601.

Passo 6

Encontro as raízes com a fórmula:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.
Como b=-39{,}2, temos -b=39{,}2 e 2a = 2000. Então
x = \frac{39{,}2 \pm 259{,}601}{2000}.
As duas soluções numéricas são
x_1 = \frac{39{,}2 + 259{,}601}{2000} = \frac{298{,}801}{2000} \approx 0{,}1494\\ \mathrm{m},
x_2 = \frac{39{,}2 - 259{,}601}{2000} = \frac{-220{,}401}{2000} \approx -0{,}1102\\ \mathrm{m}.
A solução física é a positiva, pois compressão negativa não faz sentido aqui. Portanto
x \approx 0{,}1494\\ \mathrm{m}.
Converto para centímetros para ficar mais intuitivo:
x \approx 14{,}94\\ \mathrm{cm} \approx 15{,}0\\ \mathrm{cm}.

Resposta

\,x\approx 0{,}149\\ \mathrm{m}=14{,}9\\ \mathrm{cm}

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