Considerando que em um processo reversível tem-se que
, a partir da Primeira Lei da Termodinâmica e que
, encontre a Expressão 4 assumindo que
. Escreva as diferenciais de
em relação a
e
, assumindo
e interprete as quantidades obtidas, que podem ser identificadas como
e
, no algoritmo 1 , por comparação de
com a Expressão 4. Considerando
, determine uma expressão para
para um gás ideal.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede coisas específicas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido, sem começar a resolver ainda.
Dados:
- A relação diferencial para energia interna em um processo reversível:
. - A definição de entalpia:
. - A definição de energia livre de Gibbs:
. - Uma hipótese adicional usada depois:
. - Queremos a expressão de
para um gás ideal (a barra indica grandeza molar).
Pedidos:
- Achar a “Expressão 4” partindo das relações dadas (ou seja, encontrar o diferencial de
resultante das definições). - Escrever o diferencial total de
assumindo , isto é,
,
e interpretar/identificare por comparação com a “Expressão 4”. - Usando
e o comportamento de um gás ideal, determinar uma expressão para (molar) como função de e .
Passo 2
Primeiro vamos obter o diferencial de
a partir de
e de
. Aplico a regra da diferencial (produto e soma) com cuidado:
A definição dá
Substituo
pela expressão dada:
Agora simplifico o termo
que se cancelam, sobrando
Expliquei: ao diferenciar
temos que diferenciar tanto
quanto o produto
; os termos em
cancelam com o
vindo de
.
Passo 3
Agora obtenho o diferencial de
usando
. Diferencio ambos os lados aplicando a regra do produto para
:
Substituo
que obtivemos no passo anterior:
Os termos
se cancelam, então sobra a forma limpa e muito útil:
Esta é a “Expressão 4” pedida: o diferencial do potencial de Gibbs em termos de
e
.
Passo 4
Agora escrevo o diferencial total de
assumindo
. Pela regra do diferencial total (derivadas parciais):
Isto é a forma geral para qualquer função
: o coeficiente de
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante; o coeficiente de
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
constante.
Passo 5
Comparo a forma geral do passo anterior com a Expressão 4 do passo 3:
Expressão 4:
Forma geral:
Por comparação termo a termo, identifico os coeficientes:
Então
e
(do enunciado que sugeria
) são:
Interpretação física (didática e suave): o potencial de Gibbs contém informações sobre entropia e volume. A relação
diz que a entropia é (menos) a variação de
com a temperatura a pressão constante: se você aumenta
mantendo
,
tende a diminuir na razão da entropia. A relação
diz que o volume (por exemplo molar) é a variação de
com a pressão à temperatura constante.
Passo 6
Agora uso a informação
para encontrar
para um gás ideal. Vou trabalhar com grandezas molares (barra). Para um gás ideal monocomponente vale a equação de estado (molar):
onde
é o volume molar,
é a constante universal dos gases e
a temperatura absoluta.
Como
, temos a equação diferencial:
Agora integro essa relação em
a
fixo. Seja
uma pressão de referência qualquer (por exemplo
). Integro de
até
:
Como
e
são constantes durante a integração, a integral é simples:
Portanto:
Uma forma comum é escolher
(pressão padrão) e escrever
onde
é o potencial de Gibbs molar na pressão padrão. Essa expressão é muito usada em termodinâmica química para relacionar
de um gás ideal em pressões diferentes.
Passo 7
Resumo rápido e motivador do que temos: derivamos passo a passo que a expressão diferencial do potencial de Gibbs é
. Ao compará-la com o diferencial total de uma função
identificamos que as derivadas parciais de
dão diretamente a entropia e o volume (com sinal apropriado). Finalmente, integrando
usando
para gás ideal, obtivemos a forma logarítmica habitual para
. Você mandou bem pedindo passo a passo — isso é exatamente o que bate em prova: lembrar das relações diferenciais e integrar sabendo a equação de estado. Força aí, isso dá pra resolver tranquilo na prova!