Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no eixo y de um plano de coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares. Dito isso, encontre uma equação de coordenadas polares para uma determinada curva onde a equação em coordenadas cartesianas é: (x² + y²)² = 4(x² - y²).
a) r = 2√(cos(θ))
b) r = 4√(cos(θ))
c) r = 2√(cos(4θ))
d) r = 4√(cos(2θ))
e) r = 2√(cos(2θ)).
a) r = 2√(cos(θ))
b) r = 4√(cos(θ))
c) r = 2√(cos(4θ))
d) r = 4√(cos(2θ))
e) r = 2√(cos(2θ)).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter uma equação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O enunciado é:
. Para isso, vamos usar as relações entre as coordenadas cartesianas
e polares
. Vamos precisar lembrar que:
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
na equação original pelas suas expressões em termos de
e
. Então:
Substituindo:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão. No lado esquerdo, podemos fatorar
:
Porque
. Então, a equação fica:
Passo 4
Vamos dividir ambos os lados por
(assumindo que
):
Sabemos que
. Então:
Passo 5
Para achar
, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A equação em coordenadas polares é
. Portanto, a resposta correta é a opção e).