Considerando a relação entre as coordenadas cartesianas e polares, vamos pensar no eixo y de um plano de coordenadas cartesianas e correlacionar com as coordenadas polares. Dito isso, encontre uma equação de coordenadas polares para uma determinada curva onde a equação em coordenadas cartesianas é: (x² + y²)² = 4(x² - y²).
a) r = 2√(cos(θ))
b) r = 4√(cos(θ))
c) r = 2√(cos(4θ))
d) r = 4√(cos(2θ))
e) r = 2√(cos(2θ)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa converter uma equação de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O enunciado é: (x² + y²)² = 4(x² - y²)²²²²². Para isso, vamos usar as relações entre as coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, θ). Vamos precisar lembrar que:
x = r cdot cos(theta)
y = r cdot sin(theta)

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x e y na equação original pelas suas expressões em termos de r e theta. Então:
(x² + y²)² = 4(x² - y²) ²²²²²
Substituindo:
(r² cdot cos²(theta) + r² cdot sin²(theta))² = 4(r² cdot cos²(theta) - r² cdot sin²(theta)) ²²²²²²²²²

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão. No lado esquerdo, podemos fatorar ²:
r² (cos²(theta) + sin²(theta)) = r² ²²²²
Porque cos²(theta) + sin²(theta) = 1²². Então, a equação fica:
(r²)² = 4(r² (cos²(theta) - sin²(theta))) ²²²²²
r^4 = 4r² (cos²(theta) - sin²(theta)) ²²²

Passo 4

Vamos dividir ambos os lados por ² (assumindo que r neq 0):
r² = 4(cos²(theta) - sin²(theta)) ²²²
Sabemos que cos²(theta) - sin²(theta) = cos(2theta)²². Então:
r² = 4 cos(2theta) ²

Passo 5

Para achar r, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados:
r = raiz4 cos(2theta) = 2 raizcos(2theta)

Resposta

A equação em coordenadas polares é r = 2raizcos(2θ). Portanto, a resposta correta é a opção e).

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