Seja
a função de transferência de um determinado sistema LIT.
Levante teoricamente sua resposta em frequência na faixa de frequência de 10 Hz a 100 kHz . Utilize no mínimo 3 pontos de frequência igualmente espaçados dentro de cada década, e preencha a tabela abaixo:
Frequência (Hz)
Magnitude (dB)
Fase (rad)
Levante teoricamente sua resposta em frequência na faixa de frequência de 10 Hz a 100 kHz . Utilize no mínimo 3 pontos de frequência igualmente espaçados dentro de cada década, e preencha a tabela abaixo:
| Frequência (Hz) | Magnitude (dB) | Fase (rad) |
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede a resposta em frequência (magnitude em dB e fase em rad) na faixa de
a
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de transferência é de um sistema LIT de segunda ordem com ganho estático no numerador igual a
. - Coeficiente do termo em
é . - Coeficiente do termo
é (padrão). - Faixa de frequência pedida:
até . - Deve-se usar no mínimo 3 pontos igualmente espaçados (em escala log) dentro de cada década. Como são quatro décadas (10–100, 100–1k, 1k–10k, 10k–100k) vamos usar 3 pontos por década, totalizando 12 pontos.
O que vamos entregar ao final: para cada frequência
calcular a magnitude em decibéis e a fase em radianos.
Passo 2
Vamos transformar a função para frequência complexa substituindo
, onde
. As fórmulas que vamos usar e o significado das variáveis:
-
é a frequência angular em rad/s: , onde é a frequência em Hz. - Substituindo
em obtemos
- Expandindo
, então o denominador é um número complexo com parte real
e parte imaginária
Vou chamar
e
.
- A magnitude (linear) é
- A magnitude em decibéis é
- A fase (em radianos) é a fase do numerador menos a fase do denominador; como o numerador é real e positivo, a fase fica apenas negativa da fase do denominador:
Aqui
dá o ângulo correto considerando o sinal de
e
(importantíssimo para fases em segunda ordem quando
muda de sinal).
Dica prática para prova: calcule primeiro
, depois
e
. Em muitos pontos baixos de frequência
domina e a magnitude será próxima de 1 (0 dB); próximo da frequência natural a parte real pode ficar pequena e surge ganho de
(≈ −3 dB) se o amortecimento for próximo de
. Para fase, use
se
; se
, a fase está entre
e
e deve ser calculada com
.
Passo 3
Escolha das frequências: três pontos por década igualmente espaçados em escala log (isto é, em potências de
com passo
na exponencial). As décadas e pontos escolhidos são:
- Década
– (10–100 Hz): - Década
– (100–1000 Hz): - Década
– (1k–10k Hz): - Década
– (10k–100k Hz):
Esses 12 pontos cobrem uniformemente (em log) as quatro décadas pedidas.
Passo 4
Explico o cálculo passo a passo com o primeiro ponto (
) em detalhe, para que você saiba exatamente o que fazer na prova.
Para
:
- Calcular
:
- Calcular
e :
- Magnitude linear:
- Magnitude em dB:
(para contagem rápida usar
que dá o mesmo resultado).
- Fase:
Esse é o procedimento que se repete para cada frequência: calcule
,
,
, depois magnitude e fase usando as fórmulas do Passo 2. Nas próximas etapas eu apresento os cálculos (de forma agrupada por década) e os resultados numéricos arredondados.
Passo 5
Resultados para a década
–
(cálculos resumidos; mesma técnica do Passo 4):
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
(primeiro ponto log da década): -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
(terceiro ponto da década): -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
(Observe: os valores de magnitude estão bem próximos de 0 dB nesta década baixa.)
Passo 6
Resultados para a década
–
:
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
Passo 7
Resultados para a década
–
(inclui a frequência natural perto de
):
-
: -
, -
(quase zero; indica que estamos muito próximos da ressonância natural), -
, - Magnitude
, - Fase
(aprox. ).
-
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
: -
, -
(agora já é negativo), -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
Passo 8
Resultados para a década
–
:
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
-
: -
, -
, -
, - Magnitude
, - Fase
.
-
Passo 9
Resumo final — tabelinha pronta para consulta rápida (valores arredondados com precisão útil para prova). Usei a técnica mostrada acima para cada ponto; se quiser eu mostro linha a linha os cálculos numéricos com todas as operações, mas o procedimento é sempre o mesmo (calcular
,
,
, depois magnitude e fase).