Seja H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{39,5 \times 10^{6}}{s^{2}+8,9 \times 10^{3} s+39,5 \times 10^{6}} a função de transferência de um determinado sistema LIT.
Levante teoricamente sua resposta em frequência na faixa de frequência de 10 Hz a 100 kHz . Utilize no mínimo 3 pontos de frequência igualmente espaçados dentro de cada década, e preencha a tabela abaixo:
Frequência (Hz) Magnitude (dB) Fase (rad)

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{39,5\times10^{6}}{s^{2}+8,9\times10^{3}\,s+39,5\times10^{6}}
e pede a resposta em frequência (magnitude em dB e fase em rad) na faixa de 10\\ \text{Hz} a 100\\ \text{kHz}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de transferência é de um sistema LIT de segunda ordem com ganho estático no numerador igual a 39{,}5\times10^{6}.
  • Coeficiente do termo em s é 8{,}9\times10^{3}.
  • Coeficiente do termo s^{2} é 1 (padrão).
  • Faixa de frequência pedida: 10\\ \text{Hz} até 100\\ \text{kHz}.
  • Deve-se usar no mínimo 3 pontos igualmente espaçados (em escala log) dentro de cada década. Como são quatro décadas (10–100, 100–1k, 1k–10k, 10k–100k) vamos usar 3 pontos por década, totalizando 12 pontos.
O que vamos entregar ao final: para cada frequência f calcular a magnitude em decibéis e a fase em radianos.

Passo 2

Vamos transformar a função para frequência complexa substituindo s=j\omega, onde \omega=2\pi f. As fórmulas que vamos usar e o significado das variáveis:
  • \omega é a frequência angular em rad/s: \displaystyle \omega=2\pi f, onde f é a frequência em Hz.
  • Substituindo s=j\omega em H(s) obtemos
H(j\omega)=\frac{39{,}5\times10^{6}}{(j\omega)^{2}+8{,}9\times10^{3}\,j\omega+39{,}5\times10^{6}}.
  • Expandindo (j\omega)^{2}=-\omega^{2}, então o denominador é um número complexo com parte real
\text{Re}\{D(j\omega)\}=39{,}5\times10^{6}-\omega^{2}
e parte imaginária
\text{Im}\{D(j\omega)\}=8{,}9\times10^{3}\,\omega.
Vou chamar \,A(\omega)=39{,}5\times10^{6}-\omega^{2}\, e \,B(\omega)=8{,}9\times10^{3}\,\omega.
  • A magnitude (linear) é
|H(j\omega)|=\frac{39{,}5\times10^{6}}{\sqrt{A(\omega)^{2}+B(\omega)^{2}}}.
  • A magnitude em decibéis é
20\log_{10}\bigl(|H(j\omega)|\bigr).
  • A fase (em radianos) é a fase do numerador menos a fase do denominador; como o numerador é real e positivo, a fase fica apenas negativa da fase do denominador:
\angle H(j\omega) = -\operatorname{atan2}\bigl(B(\omega),\,A(\omega)\bigr).
Aqui \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto considerando o sinal de x e y (importantíssimo para fases em segunda ordem quando A(\omega) muda de sinal).
Dica prática para prova: calcule primeiro \omega=2\pi f, depois A e B. Em muitos pontos baixos de frequência A domina e a magnitude será próxima de 1 (0 dB); próximo da frequência natural a parte real pode ficar pequena e surge ganho de 1/\sqrt{2} (≈ −3 dB) se o amortecimento for próximo de 1/\sqrt{2}. Para fase, use -\arctan(B/A) se A>0; se A<0, a fase está entre -\pi e 0 e deve ser calculada com \operatorname{atan2}.

Passo 3

Escolha das frequências: três pontos por década igualmente espaçados em escala log (isto é, em potências de 10 com passo 1/3 na exponencial). As décadas e pontos escolhidos são:
  • Década 10^{1} 10^{2} (10–100 Hz): f = 10^{1+0/3}=10,\quad f=10^{1+1/3}\approx21{,}544,\quad f=10^{1+2/3}\approx46{,}416.
  • Década 10^{2} 10^{3} (100–1000 Hz): f=100,\quad f\approx215{,}44,\quad f\approx464{,}16.
  • Década 10^{3} 10^{4} (1k–10k Hz): f=1{,}000,\quad f\approx2{,}154{,}4,\quad f\approx4{,}641{,}6.
  • Década 10^{4} 10^{5} (10k–100k Hz): f=10{,}000,\quad f\approx21{,}544,\quad f\approx46{,}416.
Esses 12 pontos cobrem uniformemente (em log) as quatro décadas pedidas.

Passo 4

Explico o cálculo passo a passo com o primeiro ponto ( f=10\\ \text{Hz}) em detalhe, para que você saiba exatamente o que fazer na prova.
Para f=10\\ \text{Hz}:
  • Calcular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot 10\approx 62{,}8319\\ \text{rad/s}.
  • Calcular A(\omega) e B(\omega):
A=39{,}5\times10^{6}-\omega^{2}\approx 39{,}500{,}000 - 3{,}947{,}84 \approx 39{,}496{,}052.
B=8{,}9\times10^{3}\cdot\omega \approx 8{,}900\cdot62{,}8319 \approx 558{,}576{,}48.
  • Magnitude linear:
|H|=\frac{39{,}500{,}000}{\sqrt{39{,}496{,}052^{2}+558{,}576{,}48^{2}}}\approx 0{,}99956\\ (\text{aprox.}).
  • Magnitude em dB:
20\log_{10}(|H|)\approx -0{,}0009\\ \text{dB}.
(para contagem rápida usar -10\log_{10}(1+(B/A)^{2}) que dá o mesmo resultado).
  • Fase:
\angle H=-\operatorname{atan2}(B,A)\approx -\arctan\!\left(\frac{558{,}576{,}48}{39{,}496{,}052}\right)\approx -0{,}0141\\ \text{rad}.
Esse é o procedimento que se repete para cada frequência: calcule \omega, A, B, depois magnitude e fase usando as fórmulas do Passo 2. Nas próximas etapas eu apresento os cálculos (de forma agrupada por década) e os resultados numéricos arredondados.

Passo 5

Resultados para a década 10 100\\ \text{Hz} (cálculos resumidos; mesma técnica do Passo 4):
  • f=10\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx62{,}8319,
    • A\approx39{,}496{,}052,
    • B\approx558{,}576{,}48,
    • Magnitude \approx0{,}99956\Rightarrow-0{,}0009\\ \text{dB},
    • Fase \approx-0{,}0141\\ \text{rad}.
  • f\approx21{,}544\\ \text{Hz} (primeiro ponto log da década):
    • \omega\approx135{,}410,
    • A\approx39{,}481{,}666,
    • B\approx1{,}203{,}795,
    • Magnitude \approx0{,}99925\Rightarrow-0{,}0040\\ \text{dB},
    • Fase \approx-0{,}0305\\ \text{rad}.
  • f\approx46{,}416\\ \text{Hz} (terceiro ponto da década):
    • \omega\approx291{,}685,
    • A\approx39{,}414{,}917,
    • B\approx2{,}593{,}035,
    • Magnitude \approx0{,}9979\Rightarrow-0{,}0188\\ \text{dB},
    • Fase \approx-0{,}0658\\ \text{rad}.
(Observe: os valores de magnitude estão bem próximos de 0 dB nesta década baixa.)

Passo 6

Resultados para a década 100 1{,}000\\ \text{Hz}:
  • f=100\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx628{,}319,
    • A\approx39{,}105{,}216,
    • B\approx5{,}585{,}764,
    • Magnitude \approx0{,}9899\Rightarrow-0{,}0884\\ \text{dB},
    • Fase \approx-0{,}1429\\ \text{rad}.
  • f\approx215{,}44\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx1{,}354{,}10,
    • A\approx37{,}666{,}600,
    • B\approx12{,}037{,}950,
    • Magnitude \approx0{,}9525\Rightarrow-0{,}4238\\ \text{dB},
    • Fase \approx-0{,}308\\ \text{rad}.
  • f\approx464{,}16\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx2{,}916{,}85,
    • A\approx30{,}991{,}700,
    • B\approx25{,}930{,}350,
    • Magnitude \approx0{,}7677\Rightarrow-2{,}305\\ \text{dB},
    • Fase \approx-0{,}699\\ \text{rad}.

Passo 7

Resultados para a década 1{,}000 10{,}000\\ \text{Hz} (inclui a frequência natural perto de 1\\ \text{kHz}):
  • f=1{,}000\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx6{,}283{,}185,
    • A\approx21{,}583 (quase zero; indica que estamos muito próximos da ressonância natural),
    • B\approx55{,}857{,}648,
    • Magnitude \approx0{,}70751\Rightarrow-3{,}012\\ \text{dB},
    • Fase \approx-1{,}5704\\ \text{rad} (aprox. -\pi/2).
  • f\approx2{,}154{,}4\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx13{,}541,
    • A\approx21{,}166{,}000,
    • B\approx120{,}379{,}500,
    • Magnitude \approx0{,}3234\Rightarrow-9{,}809\\ \text{dB},
    • Fase \approx-1{,}3970\\ \text{rad}.
  • f\approx4{,}641{,}6\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx29{,}168,
    • A\approx-45{,}583{,}000 (agora A já é negativo),
    • B\approx259{,}303{,}500,
    • Magnitude \approx0{,}15014\Rightarrow-16{,}468\\ \text{dB},
    • Fase \approx-1{,}7446\\ \text{rad}.

Passo 8

Resultados para a década 10{,}000 100{,}000\\ \text{Hz}:
  • f=10{,}000\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx62{,}831{,}85,
    • A\approx-3{,}908{,}340{,}000,
    • B\approx558{,}576{,}480,
    • Magnitude \approx0{,}010006\Rightarrow-39{,}984\\ \text{dB},
    • Fase \approx-2{,}9994\\ \text{rad}.
  • f\approx21{,}544\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx135{,}410,
    • A\approx-18{,}334{,}000{,}000,
    • B\approx1{,}203{,}795{,}000,
    • Magnitude \approx0{,}002156\Rightarrow-53{,}327\\ \text{dB},
    • Fase \approx-3{,}0759\\ \text{rad}.
  • f\approx46{,}416\\ \text{Hz}:
    • \omega\approx291{,}685,
    • A\approx-85{,}083{,}000{,}000,
    • B\approx2{,}593{,}035{,}000,
    • Magnitude \approx4{,}640\times10^{-4}\Rightarrow-66{,}675\\ \text{dB},
    • Fase \approx-3{,}1111\\ \text{rad}.

Passo 9

Resumo final — tabelinha pronta para consulta rápida (valores arredondados com precisão útil para prova). Usei a técnica mostrada acima para cada ponto; se quiser eu mostro linha a linha os cálculos numéricos com todas as operações, mas o procedimento é sempre o mesmo (calcular \omega, A, B, depois magnitude e fase).

Resposta

10\\ \text{Hz}\quad -0{,}0009\\ \text{dB}\quad -0{,}0141\\ \text{rad}
21{,}544\\ \text{Hz}\quad -0{,}0040\\ \text{dB}\quad -0{,}0305\\ \text{rad}
46{,}416\\ \text{Hz}\quad -0{,}0188\\ \text{dB}\quad -0{,}0658\\ \text{rad}
100\\ \text{Hz}\quad -0{,}0884\\ \text{dB}\quad -0{,}1429\\ \text{rad}
215{,}44\\ \text{Hz}\quad -0{,}4238\\ \text{dB}\quad -0{,}3080\\ \text{rad}
464{,}16\\ \text{Hz}\quad -2{,}305\\ \text{dB}\quad -0{,}699\\ \text{rad}
1{,}000\\ \text{Hz}\quad -3{,}012\\ \text{dB}\quad -1{,}5704\\ \text{rad}
2{,}154{,}4\\ \text{Hz}\quad -9{,}809\\ \text{dB}\quad -1{,}3970\\ \text{rad}
4{,}641{,}6\\ \text{Hz}\quad -16{,}468\\ \text{dB}\quad -1{,}7446\\ \text{rad}
10{,}000\\ \text{Hz}\quad -39{,}984\\ \text{dB}\quad -2{,}9994\\ \text{rad}
21{,}544\\ \text{Hz}\quad -53{,}327\\ \text{dB}\quad -3{,}0759\\ \text{rad}
46{,}416\\ \text{Hz}\quad -66{,}675\\ \text{dB}\quad -3{,}1111\\ \text{rad}

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